Il 195 è un numero dispari, divisibile sia per 3 sia per 5. Il terzo numero primo che lo divide esattamente è, poi, il 13, ottenendo così la seguente fattorizzazione: \[3 \times 5 \times 13\] cosa che lo rende un numero sfenico. Questa tipologia di numeri, infatti, è costituita da tutti coloro che posseggono tre fattori primi distinti. Per capire meglio basta osservare che 30 è sfenico, mentre 60 no, e questo perché tra i divisori di 60 c'è \(4 = 2^2\), ovvero 2 non è un divisore primo distinto di 60. Una proprietà interessante dei numeri sfenici è che posseggono esattamente \(8 = 2^3\) divisori, incluso se stesso.
E infatti la lista dei divisori è costituita da 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, che sono appunto 7 e diventano 8 aggiungendo il 195 stesso. Inoltre se sommiamo tra loro questi divisori (195 escluso) otteniamo 141, un numero inferiore a 195, che dunque rientra nella lista dei numeri difettivi.
Altra simpatica proprietà del 195 è che è divisibile per la somma delle proprie cifre: se infatti le sommiamo otteniamo 15, che è appunto un divisore del 195. Questo fatto lo rende un numero di harshad, che deriva dal sanscrito harṣa, ovvero una grande gioia.
Se sommiamo i primi 11 numeri primi dispari, otteniamo come risultato 195. E' anche un numero fortunato. Indine le sue rappresentazioni binaria (11000011), in base 4 (3003) e in base 8 (303) sono tutte palindrome.
Una delle edizioni più difficili del Carnevale della matematica da organizzare è stata quella del pi day 2022, e questo per i noti fatti riguardanti l'invasione dell'Ucraina da parte della Russia. Da allora non solo la situazione non è migliorata, ma se possibile è pure peggiorata. Per cui il tema di Matematica e Speranza della Giornata internazionale della matematica 2026 cade decisamente a fagiolo. In questo box iniziale allora vi presento due post di MaddMaths! dedicati a questa giornata e con i quali iniziamo ufficialmente a raccontare i contributi di questa edizione speciale del Carnevale della matematica:
Molto particolare, visto il tema inusitato, il prossimo contributo, a firma di Annalisa Santi, Rugby, l'ordine matematico dentro il caos:
- Gli eventi italiani per la Giornata Internazionale della Matematica 2026
- Dal 14 marzo, riparte il CALENΠARIO, un progetto ormai annuale organizzato da Riccardo Moschetti e Roberto Zanasi. Un problema ogni 3 (,14...) giorni, dal 14 marzo fino al 28 giugno.
L'articolo che propongo per questo Carnevale, dedicato come tradizione alla giornata del Pi Day, riguarda il meraviglioso gioco del Rugby e la sua matematica apparentemente invisibile.Anche Daniela Molinari propone un contributo a tema pi day, Speranze e menti aperte, che, come mi scrive Daniela, vuole essere una riflessione sul legame esistente tra la matematica e la speranza:
Il Rugby viene raccontato come lo sport della forza, dell'impatto, del sacrificio fisico, eppure, se lo si osserva con attenzione, emerge qualcosa di inatteso... il Rugby è una sofisticata architettura matematica in movimento.
Non è l'opposto della razionalità, è razionalità incarnata, è l'ordine matematico dentro il caos.
Con il \(\pi\) non sembrerebbe avere molti legami tranne per il fatto che la palla, con cui viene giocato, è ovale, anzi un ellissoide il cui volume notoriamente implica il \(\pi\) (\(V=4/3 \pi abc\) dove \(a\), \(b\), \(c\) rappresentano i semiassi dell'ellissoide).
A volte le ispirazioni per scrivere arrivano nei momenti più inaspettati e, essendo un'insegnante, spesso mi capita di avere idee in classe: basta la frase di qualcuno o un argomento che stiamo trattando... ma a volte ci si mettono anche gli ex studenti ad aprirmi un mondo. Questa volta ho fatto un puzzle di ispirazioni nate qui e là attorno al tema in questione: in classe abbiamo cominciato gli studi di funzione, e i punti di flesso, che ormai mi rimandano sempre alla curva dei contagi del 2020, mi hanno ispirato una riflessione sui cambi di vita, interpretando il cambio di concavità come un cambio di vita. Nella stessa mattinata, un ex studente, ora docente di italiano alle medie, mi ha citato il recente discorso sullo stato dell'unione e il macello delle percentuali. A quel punto, nel tipico stile "da cosa nasce cosa" di Paperon de' Paperoni, le percentuali mi hanno portato a parlare di frazioni e fraintendimenti.Con Frazioni continue, invece, Mauro Merlotti affronta un tipo piuttosto particolare di frazioni che sono utilizzare anche per il calcolo delle cifre decimali del pi greco:
Avrei voluto cominciare da Teone (padre di Ipazia) che visse ed insegnò ad Alessandria d'Egitto nel IV secolo, ma la faccenda si faceva troppo lunga, e allora mi sono limitato a parlare di John Wallis e Lord Brouncker che hanno trovato due fantastiche formule relative a pi greco, magari poco utili perché convergono molto lentamente, ma sicuramente belle da vedere. Se poi vogliamo aggiungere il genio di Leibniz e quello di Eulero il gioco è fatto, ma come saprete questo è solo l'inizio.
Notizie pi greche #38
Invertendo la forumla precedente, l'ago di Buffon può, quindi, essere utilizzato per determinare una approssimazione di \(\pi\). Il problema, in questo caso, è trovare un modo per stimare la probabilità \(p\). Si può procedere in questo modo: facciamo cadere \(n\) aghi; \(h\) di questi attraversano le linee. Quindi la probabilità sarà data dal rapporto tra questi due numeri. Pertanto il pi greco sarà approssimato da: \[\pi \approx \frac{2ln}{th}\] In effetti nel 1901 il matematico italiano Mario Lazzarini riuscì a realizzare l'esperimento lanciando un ago per ben 3408 volte. Alla fine ottene una delle approssimazioni più note del pi greco, \(\frac{355}{113}\). Il problema, semplificando la faccenda, era che il modo in cui Lazzaroni impostò l'esperimento era tale da avere questo come risultato più probabile.
Nel 2024 Mieczysław Szyszkowicz ha proposto una versione semplificata dell'esperimento in cui si prevede la selezione di punti casuali su un cerchio per simulare la rotazione dell'ago, che rende l'esperimento "indipendente" dalla conoscenza o meno del valore del pi greco.
Nella maggior parte delle edizioni del Carnevale della matematica sono generalmente due i singoli blogger che producono di più e su più siti. Uno è il sottoscritto (leggerete, come da tradizione, i miei post in fondo al gruppo) e l'altro è Maurizio Codogno, che in effetti scrive anche più di me!
Supponiamo di avere un pavimento di listelle di legno parallele, ognuna della stessa larghezza, e di lasciar cadere un ago sul pavimento. Qual è la probabilità che l'ago si trovi a cavallo di una linea che unisce due listelle?Questo è il famoso problema dell'ago di Buffon proposto per la prima volta nel XVIII secolo dal naturalista e matematico francese Georges-Louis Leclerc, Conte di Buffon. La soluzione, nel caso in cui la lunghezza \(l\) dell'ago non sia maggiore della larghezza \(t\) delle listelle, è data da \[p = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{l}{t}\] Nella formula, dunque, compare il pi greco, numero ubiquo, per riprendere il titolo di un articolo in due parti di Dario Castellanos uscito nel 1988 sul Mathematics Magazine. La sua funzione è facilmente spiegabile considerando che la funzione di distribuzione di probabilità per l'orientamento dell'ago è, come intuibile, simmetrica rispetto alla rotazione.
Invertendo la forumla precedente, l'ago di Buffon può, quindi, essere utilizzato per determinare una approssimazione di \(\pi\). Il problema, in questo caso, è trovare un modo per stimare la probabilità \(p\). Si può procedere in questo modo: facciamo cadere \(n\) aghi; \(h\) di questi attraversano le linee. Quindi la probabilità sarà data dal rapporto tra questi due numeri. Pertanto il pi greco sarà approssimato da: \[\pi \approx \frac{2ln}{th}\] In effetti nel 1901 il matematico italiano Mario Lazzarini riuscì a realizzare l'esperimento lanciando un ago per ben 3408 volte. Alla fine ottene una delle approssimazioni più note del pi greco, \(\frac{355}{113}\). Il problema, semplificando la faccenda, era che il modo in cui Lazzaroni impostò l'esperimento era tale da avere questo come risultato più probabile.
Nel 2024 Mieczysław Szyszkowicz ha proposto una versione semplificata dell'esperimento in cui si prevede la selezione di punti casuali su un cerchio per simulare la rotazione dell'ago, che rende l'esperimento "indipendente" dalla conoscenza o meno del valore del pi greco.
- Recensioni:
- Matematici a fumetti, di Silvia Sbaragli e Andrea De Carli - Come si suol dire, anche i matematici hanno fatto cose interessanti.
- Quizzini:
- Diagramma magico di Venn - Basta con i quadrati magici!
- Dadi riordinati - Riuscite a calcolare la probabilità richiesta?
- Parallelepipedo peculiare - Ok, avrei dovuto postarlo l'anno scorso visto che il numero di base è 2025...
- Cinque bambini - Riuscite a ricavare le età dei bambini?
- Mercoledì matematico:
- Ancora sulle dimostrazioni a conoscenza zero - Un modo un po' più filosofico di vederle.
- Quante molecole di emoglobina produciamo al secondo? - Avendo sbagliato la stima di pancia, ho provato a fare i conti come un problema di Fermi. La prima parte l'ho fatta bene, la seconda un po' meno.
- Addizione pitagorica - Un'operazione che facciamo tante volte ma a cui non avremmo saputo dare un nome.
- I dadi di Sicherman - Come si possono costruire due dadi "strani" che però se lanciati danno risultati indistinguibili statisticamente da due dadi normali?
- Numeri primoriali e compositoriali - perché i fattoriali sono troppo mainstream.
- Povera matematica:
- "Perché è arrivata quarta" - Non è che se nell'insieme dei tempi di arrivo di una gara tu hai il terzo allora sei arrivata terza.
- I MAGA e i numeri - Il problema con i MAGA non è tanto che sparino numeri senza senso, ma che la gente crede loro.
- Matematica light:
- Operazioni aritmetiche e scorciatoie - Pare che i maschi siano più portati a usarle rispetto alle femmine.
- una citazione matematica su come i matematici si pongono rispetto ai problemi che non sanno risolvere.
- un'uguaglianza matematica curiosa.
- La matematica è una o ennupla? - Si può evitare di reinventare la stessa matematica in campi diversi, perché non si sa cosa gli altri hanno fatto? Per noi umani non è facile, ed è per questo che la matematica ci pare ennupla.
- Erdős, stai pure tranquillo - Molti problemi aperti di Erdős sono risolti dalle intelligenze artificiali. O forse non è proprio così... cosa c'è di vero e cosa è solo hype?
- Possiamo ascoltare la teoria dei gruppi?, che consiglio caldamente, come puiò immaginare chi mi segue da tempo su DropSea (e sugli altri miei blog).
- Quantum+musica = creatività e pace, di cui in questo periodo avremmo tanto bisogno!
Notizie pi greche #39
Il metodo per determinare le cifre del pi greco utilizzando l'ago di Buffon è sostanzialmente analogo a un metodo Montecarlo. All'interno di questa tipologia ricade l'esperimento presente dentro la app phiphox (ho pubblicato un video in proposito), in cui si utilizzano dei punti presi a caso all'interno dell'area racchiusa da una circonferenza.
Un altro sistema, invece, prende in considerazione i random walk, i cammini casuali. Un cammino casuale è costituito da un insieme di "passi" \(X_k\) tutti compresi tra -1 e 1. Il cammino associato sarà quindi dato dalla seguente sommatoria: \[W_n = \sum_{k=1}^n X_k\] Al variare di \(n\), \(W_n\) definisce un processo stocastico e quindi è possibile calcolare pi greco in questo modo: \[\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{E \left [ \left | W_n \right | \right ]^2}\] I metodi Montecarlo, però, risultano piuttosto lenti e poco accurati, quindi non vengono utilizzati per il calcolo effettivo delle cifre decimali di \(\pi\), ma per scopi artistici o didattici.
Quella che sta per arrivare è la porzione più lunga, con gli articoli provenienti da MaddMaths!, il magazine di divulgazione della matematica diretto da Roberto Natalini. Tenetevi forte, perché iniziamo!
Il metodo per determinare le cifre del pi greco utilizzando l'ago di Buffon è sostanzialmente analogo a un metodo Montecarlo. All'interno di questa tipologia ricade l'esperimento presente dentro la app phiphox (ho pubblicato un video in proposito), in cui si utilizzano dei punti presi a caso all'interno dell'area racchiusa da una circonferenza.
Un altro sistema, invece, prende in considerazione i random walk, i cammini casuali. Un cammino casuale è costituito da un insieme di "passi" \(X_k\) tutti compresi tra -1 e 1. Il cammino associato sarà quindi dato dalla seguente sommatoria: \[W_n = \sum_{k=1}^n X_k\] Al variare di \(n\), \(W_n\) definisce un processo stocastico e quindi è possibile calcolare pi greco in questo modo: \[\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{E \left [ \left | W_n \right | \right ]^2}\] I metodi Montecarlo, però, risultano piuttosto lenti e poco accurati, quindi non vengono utilizzati per il calcolo effettivo delle cifre decimali di \(\pi\), ma per scopi artistici o didattici.
- Il gioco che potrebbe non finire mai "Straccia-camicia" di Riccardo Moraschi: Sembra un gioco banale, eppure nasconde un enigma che ha sfidato i matematici per decenni: esiste una partita che non finisce mai? La risposta definitiva è arrivata solo di recente.
- Di Olimpiadi invernali e medaglie: ha fatto meglio l’Italia o l’Olanda? di Alberto Saracco: Sono appena terminate le Olimpiadi invernali di Milano-Cortina 2026 dove la spedizione azzurra è stata la più vincente della storia delle Olimpiadi invernali. Ma come si valuta la sua prestazione rispetto a quella di altre squadre nazionali?
- Radice di Pop - Mi manca solo una carta Pokemon: La matematica dietro l'album di figurine di Massimo Martone: Il rumore della carta che si strappa, l'odore di inchiostro fresco e quel brivido di attesa. Che tu sia un appassionato di carte Pokemon o di One Piece, oppure che tu sia cresciuto a pane, Calciatori Panini e Amici Cucciolotti, conosci bene quella sensazione. Tutti ci siamo passati! E tutti, inequivocabilmente, ci siamo posti una domanda: 'Quante bustine devo ancora comprare per finire questa benedetta collezione?'. La risposta è nella probabilità.
- Il Dopolavoro Matematico lancia un progetto per raccogliere storie matematiche. L'obiettivo è costruire uno spazio aperto in cui la matematica si riveli come esperienza vissuta e relazione, non solo come materia di studio.
- Rivoluzioni matematiche: Teoremi sul compressed sensing di Italia De Feis: Con il numero di marzo de Le Scienze troverete in allegato il quarantaduesimo dei cinquanta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato ai teoremi sul compressed sensing ed è stato scritto da Italia De Feis.
- Letture Matematiche: A spasso nella fisica moderna. La fisica moderna ha vissuto, e continua a vivere, passaggi fondamentali: dall'equazione di Boltzmann e l'entropia alle reti neurali. A spasso nella fisica moderna è proprio la guida per muoversi tra le idee recenti della fisica e i suoi personaggi.
Gli autori raccontano le idee della fisica moderna e come queste siano interconnesse perché il progresso scientifico non è un percorso lineare, ma piuttosto un groviglio di passaggi con gli scienziati a protagonisti. Anzi, gli autori lasciano il lettore libero di "andare a spasso" tra le varie scoperte. Lo ha letto per MaddMaths! Marco Menale. - AILAxMaddMaths!: Che cos'è la logica algebrica di Serafina Lapenta e Sara Ugolini. Questo è il primo articolo di una nuova rubrica che ci porterà alla scoperta delle varie aree di ricerca in logica. Il viaggio parte con la Logica Algebrica, che raccontiamo a partire da Boole fino al giorno d’oggi.
- Divulgazione Matematica e medicina: un podcast di confronto di Marco Menale. Durante il workshop "From Climate Change to Emerging Diseases: Next Generation Mathematical Approaches" si è tenuta una tavola rotonda di confronto tra matematici e medici, per fare il punto sui risultati e sulle prospettive di collaborazione, alla luce delle sfide attuali tra cambiamenti climatici e nuove epidemie. Da quell’incontro è nato un podcast, ora disponibile sulle principali piattaforme.
- La Lente Matematica di Marco Menale: Quando la minoranza diventa maggioranza. Le opinioni di poche persone sono destinate a sparire? Oppure,in qualche modo, possono diventare maggioranza?
Un modello matematico dice che sì, è possibile per la minoranza diventare maggioranza, nel bene o nel male. È sufficiente superare una soglia critica. - Le news di Stefano Pisani
- L'algoritmo della stand-up comedy. Una ricerca condotta da Vanessa Pope e dal suo team del King’s College London ha dimostrato che, sebbene uno spettacolo di stand-up comedy possa sembrare spontaneo e pieno di imprevisti, in realtà è costruito su una struttura millimetrica. Leggiamo di cosa si tratta.
- La sottile linea rossa (geometrica) tra tori e ciambelle. È possibile creare una ciambella usando un foglio di carta da origami e forme poliedriche? Cosa succede poi a partire dalla dimensione 4? La sfida diventa esponenzialmente più ardua. Ora un nuovo studio ha chiarito i dettagli cruciali dell'operazione.
Notizie pi greche #40
Pi greco è un numero irrazionale, poiché non può essere scritto come rapporto do nessuna coppia di numeri interi, e trascendentale. Le dimostrazioni di questi due fatti sono note da tempo. C'è, però, un'altra caratteristica del \(\pi\) che non è ancora stata dimostrata, anche se i matematici ritengono che sia vera: la sua normalità.
Un numero con una quantità infinita di cifre decimali è detto normale quando tutte le possibili sequenze di cifre (di qualsiasi lunghezza data) compaiono con la stessa frequenza.
Nel 2001 David Bailey (quello della formula BBP) e Richard Crandall hanno suggerito che la normalità di alcune costanti matematiche è una conseguenza di una plausibile congettura nel campo della dinamica caotica, secondo la quale sequenze di un particolare tipo, come afferma Bailey, danzano uniformemente nel limite tra 0 e 1. I due matematici hanno chiamato tale congettura Ipotesi A. Se questa ipotesi venisse dimostrata, seguirebbe immediatamente la normalità in base 2 di costanti come \(\pi\) e \(\log 2\). Il problema è che anche questa ipotesi sembra sostanzialmente impossibile da dimostrare...
Come da tradizione la parte conclusiva del Carnevale del pi day è aperta dai contributi dei Rudi Mathematici:
Pi greco è un numero irrazionale, poiché non può essere scritto come rapporto do nessuna coppia di numeri interi, e trascendentale. Le dimostrazioni di questi due fatti sono note da tempo. C'è, però, un'altra caratteristica del \(\pi\) che non è ancora stata dimostrata, anche se i matematici ritengono che sia vera: la sua normalità.
Un numero con una quantità infinita di cifre decimali è detto normale quando tutte le possibili sequenze di cifre (di qualsiasi lunghezza data) compaiono con la stessa frequenza.
Nel 2001 David Bailey (quello della formula BBP) e Richard Crandall hanno suggerito che la normalità di alcune costanti matematiche è una conseguenza di una plausibile congettura nel campo della dinamica caotica, secondo la quale sequenze di un particolare tipo, come afferma Bailey, danzano uniformemente nel limite tra 0 e 1. I due matematici hanno chiamato tale congettura Ipotesi A. Se questa ipotesi venisse dimostrata, seguirebbe immediatamente la normalità in base 2 di costanti come \(\pi\) e \(\log 2\). Il problema è che anche questa ipotesi sembra sostanzialmente impossibile da dimostrare...
- RM325, Febbraio 2026. È in linea in questo RM325 che palesa una funzione ritardo ancora con alti valori, ma con derivata splendidamente negativa, troverete la solita pletora di meraviglie. Cominciando dal fondo, il perfido GC intitola il Paraphernalia del mese come “sarebbe una cosa semplice”, dimostrando così tutta la sua perfidia, perché poi arriva a parlare di tensori. Alice ha cucito insieme dieci pagine abbondanti di soluzioni, palesando anche una sua indubitabile e incontestabile voglia di vacanza. Due problemi a numero sono il minimo sindacale di RM e, infine (o meglio, all’inizio) il compleanno di questo mese non è un compleanno ma è un reportage, insomma un “taccuino di viaggio”, che prova a raccontare qualcosa della trasferta di gennaio di due Rudi Mathematici su tre nel cuore della Toscana.
- Quick & Dirty - Progressioni. Una domanda veloce e mal posta, con risposta diretta e immediata, probabilmente sbagliata per provare il vostro istinto matematico. Oggi si parla di interi in base 3.
- I Problemi di LeScienze – Febbraio 2026 –Festa perenne con torta per N. Il problema di febbraio 2026 pubblicato su Le Scienze con una proposta di soluzione. Scoprite varie curiosità sul taglio delle torte. Se poi volete scrivere e lamentarvi (probabilmente a ragione) sull'esposizione del problema e sulle nostre conclusioni, lo spazio dei commenti qui in calce è tutto per voi.
Iniziamo dai Paralipomeni: in Porcili matematici c'è la soluzione di uno dei due rompicapi del nodo 8.
Per i Rompicapi, invece, ecco il secondo rompicapo presente nel suddetto nodo: la soluzione uscirà tra una decina di giorni o qualcosa del genere.
Abbiamo, quindi, un'uscita de Le particelle musicali dedicata a Tom Lehrer, scomparso a luglio 2025: C'è una delta per ogni epsilon.
Altra rubrica a-periodica, ma ultimamente un po' più presente, è Le grandi domande della vita, la cui ultima uscita è dedicata a un paio di equazioni polinomiali.
Con i Ritratti, invece, ci avviamo nella porzione dei post di DropSea dedicati al pi greco: John Wrench, infatti, è stato uno dei pionieri del calcolo algoritmico delle cifre del \(\pi\). Proseguiamo con Un paio di articoli su Ramanujan e il pi greco: un piccolo link post con due articoli che si occupano del lavoro di Srinivasa Ramanujan sul \(\pi\).
22/7: Un po' più del pi greco è una breve curiosità su una delle frazioni che approssima \(\pi\), e che poteva anche stare bene dentro le notizie pi greche.
Infine nell'Astrocuriosità dell'Osservatorio Astronomico di Brera c'è Gauss e la forma della Terra, con tanto di video abbinato, dove sono partito dal lavoro di Gauss sulla determinazione della forma matematica della Terra per arrivare alle misure astronomiche che ci hanno permesso di osservarla sul serio!
Dal resto dei miei blog e degli altri siti dove scrivo non è arrivato nulla, invece, visto che non ho scritto di matematica, per cui chiudo qui questa edizione #195 del Carnevale della matematica, augurandovi come ogni anno un...
Buon pi day!
Le vignette nelle notizie pi greche sono state generate con Gemini
Nessun commento:
Posta un commento