Potenza di potenza: commento sprint

Mi inserisco nel "certame" matematico tra @_juhan e @zzar!

Da un commento di Roberto Zanasi, il buon Juhan ha iniziato una serie di post interessanti per capire come pensa un programmatore nel momento in cui ragiona su un problema come la potenza di potenze. Certo il problema se non avesse un'ambiguità di fondo, almeno nell'ottica del pensiero da programmatore (molto ammericano) non presenterebbe una differenza di vedute così netta, ma è anche indubbio che il modo di approcciarsi a un problema del genere è completamente differente quando lo si affronta da matematico o da programmatore. E non è, secondo me, questione di calcolare partendo da destra o da sinistra, come suggerito da Juhan. Andiamo, però, con ordine.
Il problema di partenza è calcolare la seguente potenza di potenze: \[2^{2^{2^{2^0}}}\] Non essendoci parentesi che suggeriscono la priorità di calcolo, ci si sentirebbe legittimati a partire da sinistra o da destra, ma esiste una regola nell'elevazione a potenza che permette di svolgere un qualunque calcolo del genere. Ovviamente il numero più in basso è la base, mentre tutti gli altri sono esponenti. Ricordato ciò, ecco la regola: \[a^{m^n} = a^{m \cdot n}\] che allora può essere generalizzata nel modo seguente: \[a^{b_1^{b_2^{{\cdots}^b_n}}} = a^{\prod_i^n b_i}\] Questo implica che, se uno qualsiasi dei $b_i$ è nullo, allora il risultato della potenza di potenze, in mancanza di parentesi che inducono priorità nel calcolo, è 1.
Il risultato 16 dovuto alla maggior parte degli algoritmi è frutto della difficoltà nel gestire la potenza di potenze utilizzando una regola che discende direttamente dalla definizione di esponenziale. A questo agiungerei anche la vicinanza tra il pensiero da programmatore e quello ammericano di affrontare un problema di petto, con la prima soluzione in mano, senza ragionare sul problema stesso e sulle definizioni matematiche che lo coinvolgono (tranquilli: ci cado anche io in questo modo di approcciarmi, a volte; l'importante è rendersene conto e poi modificare!).
Visto che ci sono, vi segnalo anche la seconda parte della serie.

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Aggiornamento del 7 luglio 2016:
Dopo la pubblicazione iniziale di questo post, seguendo un programma che avevo già in mente di attuare, ho posto la domanda su Quora ed è giunta una risposta di Justin Rising che secondo me presenta un elemento importante: rimanda a una pagina wiki ben fatta (e che mi era colpevolmente sfuggita...) con una fonte come quelle necessarie per validare la dimostrazione:

Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1.". In Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea. Taschenbuch der Mathematik (in German) 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). pp. 115–120.

D'altra parte il calcolo dell'espressione può essere svolto anche nel modo seguente: \[n_0 = 2^{2^{2^{2^0}}} = 2^{n_1}\] \[n_1 = 2^{2^{2^0}} = 2^{n_2}\] \[n_2 = 2^{2^0} = 2^{n_3}\] Quindi \[n_3 = 2^0 = 1 \Rightarrow n_2 = 2 \Rightarrow n_1 = 4 \Rightarrow n_0 = 16\] E questo, direi, chiude la faccenda in favore di Juhan!

Il Carnevale di luglio: call for comics

La prima e ultima volta che ospitai il Carnevale della Matematica due volte nello stesso anno avvenne nell'ormai lontano 2010. Con l'occasione del lancio del Cappellaio Matto su LSB, ecco allora l'idea per luglio per un'edizione a tema fumettistico:

Matematica e/a/con i/per i/dei fumetti

Ovviamente saranno graditi contributi fumettosi, ma ciò non deve limitarvi nel proporre post fuori tema, che alla fin fine sono come sempre il sale di ogni Carnevale!
L'edizione, qui lo scrivo esplicitamente se non fosse chiaro, verrà ospitata il 14 luglio 2016 sul Caffè del Cappellaio Matto. I contributi possono essere inviati, come al solito, attraverso i vari canali come twitter o l'indirizzo e-mail:

La striscia di apertura è tratta dall'inglese Mickey Mouse Weekly #603, che a partire dal 584 pubblicò, una pagina per numero, la riduzione a fumetti del film disneyano realizzata da Ronald Neilson. La serie si concluse con il #621 con la riduzione di Attraverso lo specchio.
Ovviamente non dimenticatevi di fare un salto al Carnevale della Matematica #98.

Pensare a quel punto blu

Il Voyager 1 viaggiava nello spazio ormai da più di 12 anni. Era stato lanciato dalla NASA il 5 settembre del 1977 all’interno di un progetto di studio del Sistema Solare. Possiamo considerarlo, senza troppi mezzi termini, come il primo grande successo, dopo l'allunaggio del luglio 1969, da parte dell'espolarione umana dell'universo.
Da allora, grazie alla stessa NASA ma anche all'ESA e alle altre agenzie spaziali, tutte strette in collaborazioni scientifiche nonostante le beghe politiche, di missioni di esplorazione ne abbiamo lanciate molte, buon ultima ExoMars, ma qualunque sia la prossima scoperta che ci farà stupire, probabilmente riuscirà solo a sfiorare la forza emotiva della foto che Voyager 1 scattò il 14 febbraio del 1990.
Il satellite era ormai giunto ai margini del Sistema Solare, pronto a lasciarlo definitivamente senza mai tornare più sulla Terra, e allora Carl Sagan ebbe l'idea: facciamo girare Voyager 1 verso di noi per scattare una foto del nostro pianeta da quella incredibile distanza, circa 6 miliardi di chilometri (40.5 unità astronomiche).
Quella foto fece il giro del mondo: accompagnata da un bellissimo testo di Sagan, dall'introduzione al libro Pale Blue Dot: A Vision of the Human Future in Space, mostra la Terra, un punto blu nell'immensità dello spazio (enfatizzato da un piccolo cerchio).

Sarai meravigliosa, figlia mia

Il principale segreto della recensione di fine serie dedicata ad Aama di Frederik Peeters è che la sua base di partenza si trova su quattro recensioni separate, tre già uscite qui su, e la quarta scritta a fine lettura del quarto volume. Qui recupero la recensione del solo quarto volume.

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Alla fine tutti i nodi vengono al pettine: le idee, le tracce, ogni cosa si unisce e si chiarifica nel finale, componendo un crogiolo che è qualcosa di più della semplice somma delle sue parti.
Verloc, ormai invaso da aama, che contiene a stento, è diventato un vero e proprio oltre-uomo nitschiano, il cui essere al di là del bene e del male è in realtà dovuto alla non conoscenza di tali termini da pate di aama stesso. È sui tentativi di Verloc di insegnare questi concetti al programma bio-artificiale che gioca la prima parte del quarto e ultimo volume di Aama, prima che Frederik Peeters faccia esplodere in tutta la sua potenza il Verloc cyber-potenziato.
Il protagonista, infatti, travolto dalla necessità di aama di riversarsi all'interno di un essere biologico in grado di sopportare le milioni e milioni di connessioni create con l'universo stesso, mettendosi in viaggio verso la Terra diventa un vero e proprio Dottor Manhattan in versione cyberpunk. I confini dello spaziotempo non rappresentano ormai più nulla, mentre i legami biologici sono qualcosa al tempo stesso da imparare (per aama) e trasmettere (per Verloc).
Il protagonista, giunto sulla Terra alla ricerca della figlia, comprende quanto la sua vita sia stata manipolata dall'esterno a sua completa insaputa, quanto il suo stesso libero arbitrio sia stato violato, nonostante la sua consapevole scelta di rifiutare i cyber-impianti. E allora solo accettare la sua missione finale gli permette di ritrovare se steso e quel libero arbitrio perduto: compiere il sacrificio di donare il mondo alla figlia.
In ultima analisi Aama è un'opera sui genitori e sui figli, sul tentativo dei primi di consegnare ai secondi un mondo un po' migliore di quello precedente, non però con un semplice passaggio di consegne, quasi un regalo dovuto, ma un vero e proprio passaggio di responsabilità.