Le grandi domande della vita: Abbuffata cosmica

Questa terza puntata dell'edizione mensile de Le grandi domande della vita è stata piuttosto tribolata. Saltato l'appuntamento del venerdì scorso, insieme a quasi tutta la prima settimana di luglio, la notizia della determinazione dell'origine cosmica dei neutrini ad alta energia mi ha suggerito di dedicare la giornata di ieri alle più piccole ed elusive particelle dello zoo, trasformandolo, un po' per caso, nell'ideale seguito dell'articolo dedicato ai loro parenti più cicciotti.
A questo ci sono da aggiungere anche alcuni problemi tecnici che mi hanno costretto a riscrivere l'articolo una seconda volta. Alla fine, però, eccovi la terza puntata della serie mensile de Le grandi domande della vita che, come le due precedenti, si apre su un modello sulla forma e struttura del nostro pianeta: l'espansione della Terra.

Il mio raggio che cambia

L'idea di base del modello è che il raggio della Terra non è costante nel corso del tempo. A partire da questa tesi si possono avere tre scenari:

1. la massa della Terra resta costante;
2. la massa della Terra aumenta così come il volume;
3. il raggio della Terra aumenta a densità costante.

Ciasuno dei tre scenari ha delle corrispondenti implicazioni gravitazionali:

1. la gravità diminuisce nel tempo;
2. la gravità superficiale resta costante;
3. la gravità superficiale aumenta nel tempo.

Per chiarire meglio ciascuno dei tre scenari basta ricordare che la gravità può essere scritta o in funzione della massa della Terra: \[g = G \frac{M}{r^2}\] o in funzione della densità \[g = \frac{4}{3} \pi G \rho \, r\] In questo modo diventa evidente la diminuzione della gravità superficiale nello scenario 1., mentre nello scenario 2. la gravità resta costante a patto che il quadrato del tasso di aumento del raggio sia tale da controbilanciare il tasso di aumento della massa. Infine, nello scenario 3., è evidente che a densità costante, la gravità superficiale non può che aumentare all'aumentare del raggio.
Gli scenari 1. e 3. implicherebbero in maniera evidente una variazione nelle orbite dei pianeti, in particolare della Terra, con conseguente influenza sulla durata dell'anno solare (ovvero il periodo di tempo impiegato dalla Terra a completare un'orbita intorno al Sole). Anche lo scenario 2., in cui la gravità superficiale resta costante, genererebbe una variazione dell'orbita terrestre, e questo perché la legge di gravitazione universale dipende dalla massa e quindi un aumento di essa aumenterebbe la forza di attrazione tra Sole e Terra.
Questa forza, come ci ricorda Isaac Newton, agisce a distanza, ma se proviamo a elaborare una sua versione alternativa di tipo meccanico e aggiungiamo anche l'etere come ingrediente, otteniamo come conseguenza l'espansione dei pianeti e dunque della Terra. L'idea così costruita venne partorita nel 1888 dall'ingegnere civile russo Ivan Osipovich Yarkovsky.
Una versione che non implicava una versione alternativa della gravità venne proposta nel 1956 dal geologo australiano Samuel Warren Carey, che dopo aver supportato la deriva dei continenti, suggerì che solo l'aumento della massa del pianeta poteva spiegare le osservazioni geologiche. Inoltre tale espansione era da considerarsi perfettamente coerente con la più nota espansione dell'universo.
Le motivazioni nello sviluppo di un modello che implicava l'espansione della Terra sono legate a una semplice osservazione che trae le sue origini sin da quando vennero confrontate le mappe delle coste americane. In particolare era abbastanza evidente che la costa del Sud America e quella dell'Africa potevano essere incastrate perfettamente una nell'altra.
La teoria che alla fine si dimostrò la più efficace, quella della deriva dei continenti, venne sintetizzata nel 1912 dal geofisico tedesco Alfred Wegener, che partì da una serie di lavori precedenti tra cui quelli dell'americano Frank Bursley Taylor e dell'italiano Roberto Mantovani.
Quest'ultimo, tra il 1889 e il 1909, suppose che all'inizio le terre emerse costituivano un unico immenso continente che copriva l'intera superficie di una Terra più piccola di quella (per lui) attuale. A causa dell'espansione termica, l'attività vulcanica divenne sempre più violenta fino a produrre la rottura delle terre emerse nei continenti noti. Questi ultimi si allontanarono a causa dell'espansione stessa, mentre gli strappi generati venivano riempiti dagli oceani.
A differenza di Mantovani, che supponeva un'origine termica dell'espansione della Terra, il fisico irlandese John Joly e il geologo britannico Arthur Holmes ritenevano che il pianeta fosse soggetto all'alternanrsi ciclico di periodi di espansione e contrazione dovuti ai decadimenti radioattivi. In particolare durante l'espansione il magma fluiva libero all'interno della terra per poi solidificarsi durante la contrazione.
Non è comunque da escludere che i primi modelli espansionistici, quelli di Mantovani, Joly e Yarkovsky, fossero ispirati da Charles Darwin. L'illustre naturalista, durante il suo secondo viaggio sulla Beagle nel 1834, notò le particolari spiagge sopraelevate lungo le coste della Patagonia, nel Sud America. La sua prima idea per spiegare queste particolari conformazioni era supporre l'esistenza di una qualche forza interna che spingesse il pianeta a espandersi verso l'esterno. Nel 1935 estese la sua idea per includere le Ande (e quindi la formazione delle montagne) salvo poi tornare sui suoi passi suggerendo che il sorgere delle montagne era connesso (o controbilanciato) dalle fosse oceaniche.
I terra espansionisti, nelle cui fila si annovera il fumettista Neal Adams, nonostante tutte le prove a supporto della deriva dei continenti, continuano a essere presenti sul pianeta e sostanzialmente propongono il modello di Carey. Il punto è che dal 1956 a oggi non è stato prodotto alcun credibile meccanismo in grado di produrre la massa necessaria per l'espansione del pianeta, che si va ad aggiungere alle obiezioni di ordine gravitazionale sopra menzionate. Inoltre la materia proveniente dagli spazi cosmici (asteroidi e altri detriti spaziali che annualmente cadono sulla superficie del pianeta) risultano una frazione piuttosto trascurabile della massa richiesta dall'espansione.
Persino la variazione alla relatività generale proposta nel 1964 dal fisico tedesco Pascual Jordan e ispirata all'idea di Paul Dirac che il valore della costante di gravitazione universale si modifica nel tempo è stata rigettata dalle misure sperimentali.
Inoltre l'aumento della massa porterebbe a un avvicinamento anche tra Luna e Terra con conseguente sgretolamento del nostro satellite e la sua trasformazione in un anello roccioso in un tempo di all'incirca 300 anni, ovvero una frazione apprezzabilmente piccola rispetto alla sua età, che è di 4.5 miliardi di anni.
E la presenza della Luna è un fatto che possiamo osservare quasi tutte le notti di cielo sereno alzando gli occhi verso l'alto, anche in città. E che si aggiunge alle ultime osservazioni⁽¹⁾ che escludono una Terra in espansione (o almeno con il tasso di espansione richiesto dal modello alternativo alla deriva dei continenti).

Verso l'infinito

Prendiamoci una breve pausa matematica provando a capire il valore dell'espressione $x^\infty$.
Si distingue tra alcuni casi in funzione del valore di $x$. Andiamoli a vedere:

1. $x > 1$: l'espressione $x^\infty$ diverge, essendo l'infinita moltiplicazione di numeri positivi;
2. $x = 1$: il risultato è $1$, poiché il prodotto infinito di $1$ con se stesso da sempre $1$, almeno fino a che siamo tutti d'accordo con il fatto che $1 \cdot 1 = 1$;
3. $0 < x < 1$: in questo caso $x^\infty$ converge a $0$, poiché elevare a potenza un numero positivo minore di $1$ da come risultato un numero più piccolo di quello di partenza e maggiore è la potenza, più piccolo è il risultato dell'operazione;
4. $x = 0$: semplicemente $0$; l'unico problema sorgerebbe con $0^0$, ma questo caso non potrà mai verificarsi in $x^\infty$;
5. $-1 < x < 0$: anche in questo caso $x^\infty$ converge a $0$. A voler essere pignoli questo $0$ ora ha segno positivo ora ha segno negativo, ma possiamo essere abbastanza confidenti del fatto che, indipendentemente dal segno, $0$ è sempre $0$;
6. $x = -1$: rispetto al caso 2. $x^\infty$ può assumere due valori distinti, $+1$ e $-1$ in funzione del fatto che l'esponente sia pari o dispari: quindi l'esito dell'operazione è indeterminato;
7. $x < -1$: come nel caso 1. siamo di fronte a una divergenza, ma come nel caso 6. siamo di fronte a un'indeterminazione dovuta al segno, quindi nel complesso $x^\infty$ risulta indeterminato.

Un buco nero in una scatola di specchi

Cosa succederebbe se fossimo in grado di intrappolare la luce in una scatola costituita da specchi?
Come Samuel J. Fogarty, anche io ho pensato subito a un buco nero. In effetti molto probabilmente anche chi ha formulato la domanda, pensava a un buco nero, quindi a qualcosa del tipo se fosse possibile costruire un buco nero con un qualche genere di specchio.
Un oggetto di tal genere sarebbe una sorta di buco nero fatto esclusivamente di luce, cosa teoricamente possibile poiché massa ed energia sono equivalenti e poiché la luce, per quanto priva di massa, trasporta energia, basta raccogliere una sufficiente quantità di luce per ottenere qualcosa di simile a un buco nero di luce.
In termini pratici la risposta la fornisce ShiSow Space:

Un facile problema sui numeri primi

Il motivo per cui vi propongo la domanda su quali sono i due numeri primi la cui somma è 99, la cui risposta è particolarmente semplice ($2+97$) è che Kai Udall ha proposto, per rispondere alla domanda, un programma informatico per la ricerca di questi due numeri. O per essere più precisi per determinare se il secondo numero è primo, visto che 99 è dispari e l'unico pari ad essere anche primo è il 2.

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1. Wu, X., Collilieux, X., Altamimi, Z., Vermeersen, B. L. A., Gross, R. S., & Fukumori, I. (2011). Accuracy of the international terrestrial reference frame origin and earth expansion. Geophysical Research Letters, 38(13). doi:10.1029/2011GL047450 ↩