Un grazioso modello del sistema solare

Dopo aver visto il video con cui apro questo post (via Keplero) ho pensato immediatamente al modello di Nizza (o Nice model, in originale), un modello simulativo sulle dinamiche, nel tempo, del nostro sistema solare sviluppato da Rodney Gomes, Harold F. Levison, Alessandro Morbidelli, Kleomenis Tsiganis in un terzetto di articoli pubblicati su Nature vol.235.
Innanzitutto vediamo come si ritiene si sia formato il sistema solare: secondo il modello di Kant-Laplace, il nostro sistema planetario si è formato a partire da una nube densa e massiccia di gas molecolare costituito soprattutto da idrogeno. E' all'interno di questa nube che avviene la formazione dei pianeti con il più o meno lento addensarsi della materia. In particolare la teoria suppone che i pianeti giganti si siano formati su orbite circolari e coplanari^{(3, 5)}. All'interno di questa descrizione, tutti i pianeti si sono sostanzialmente formati nella posizione attuale. Il modello di Nizza, invece, suggerisce che tutti gli oggetti del sistema solare si sono formati in una posizione differente e che una perturbazione nelle orbite a forzato i pianeti verso le attuali e più stabili orbite.
Il nucleo del modello originale è stato sviluppato da Gomes, Morbidelli e Levison nel 2004⁽⁷⁾

Studiamo la migrazione planetaria in un disco di planetesimi libero da gas. Nel caso del nostro sistema solare mostriamo che Nettuno potrebbe avere avuto sia una migrazione smorzata, limitata a poche UA, sia una migrazione forzata fino al bordo del disco, in dipendenza della densità di massa del disco. Studiamo anche la possibilità di una fuga (runaway migration) dei pianeti isolati in un disco moltomassivo, che potrebbe essere rilevante per sistemi extra-solari. Investighiamo il problema della perdita di massa della fascia di Kuipert alla luce della migrazione planetaria e concludiamo che la fascia perde massa da ben prima che Nettuno raggiungesse la sua attuale posizione. Quindi Nettuno ha effettivamente colpito il bordo estremo del disco proto-planetario. Investighiamo anche le dinamiche degli embrioni planetari massicci inclusi nel disco dei planetesimi. Concludiamo che l'eliminazione degli embrioni di massa pari alla Terra o a Marte originariamente posti all'esterno dell'iniziale posizione di Nettuno richiede l'esistenza di un bordo del disco vicino alle 30 UA.

In questo primo articolo si trova anche un modellino analitico sul processo di migrazione. Innanzitutto si calcola la variazione nel tempo del semiasse maggiore $a_P$ del pianeta: \[\frac{\text{d} a_P}{\text{d} t} = \frac{k}{2 \pi} \frac{M(t)}{M_P} \frac{1}{\sqrt{a_P}}\] dove $M(t)$ è la quantità di materia in orbita che incrocia l'orbita del pianeta, $M_P$ la massa del pianeta, $k$ un parametro per la distribuzione di quelle orbite.
L'evoluzione di $M(t)$ è descritta dalla seguente equazione: \[\dot M (t) = -\frac{M(t)}{\tau} + 2 \pi a_P |\dot a_P| \sigma (a_P)\] dove $\tau$ è il tempo di decadimento dei planetesimi, $\sigma$ la densità superficiale dei planeteseimi non ancora scatterati (quelli, cioè, che non hanno subito urti: in questo senso è anche da intendersi il tempo di decadimento dei planetesimi), $\dot a_P$ il tasso di migrazione planetario, $\dot M (t)$ il decadimento della popolazione dei planetesimi dovuto alla dinamica finita della vita media dei planetesimi.
Sostituendo la prima equazione nella seconda, si ottiene: \[\dot M (t) = \left ( \frac{1}{\tau} + |k| \sqrt{a_P} \frac{\sigma(a_P)}{M_P} \right ) M(t)\] E la soluzione di quest'ultima equazione è data da: \[M(t) = M(0) \text{e}^{\alpha t}\] dove \[\alpha = \frac{1}{\tau} + |k| \sqrt{a_P} \frac{\sigma(a_P)}{M_P}\] che è indipendente dal tempo.
A questo punto si possono avere due situazione: $\alpha$ negativo, $\alpha$ positivo.
Nel primo caso la velocità di migrazione è troppo bassa per compensare la perdita di planetesimi: la migrazione è detta migrazione smorzata.
Nel secondo caso $M(t)$ cresce esponenzialmente e la migrazione, detta forzata, è auto-sostenuta.

Dopo che i pianeti giganti si sono formati e la nube gassosa circumsolare si è dissipata, il sistema solare era composto da Sole, pianeti, e da un disco di detriti dei planetesimi.

La migrazione dei pianeti è così causata da un cambiamento nel momento angolare dovuto all'urto con i planetesimi.

Simulazioni numeriche⁽⁴⁾ mostrano che Giove è stato forzato a muoversi verso l'interno, mentre Saturno, Urano e Nettuno verso l'esterno.

Un esempio di output prodotto dalle simulazioni di Nizza è grafico seguente:

dove MMR (mean motion resonance) è larisonanzaorbitale, $a$ il semiasse maggiore, $q$ il minimo e $Q$ il massimo della distanza dal Sole. Il grafico è tratto da una simulazione a N-corpi con un disco 'caldo' di 35$M_E$ di 3500 particelle e troncata a 30 UA. I pianeti sono Urano (U), Nettuno (N), Saturno (S), Giove (J).

Le perturbazioni secolari che Giove e Saturno esercitano su Urano e Nettunioforzano l'eccentricità dei giganti di ghiaccio ad aumentare di una quantitàche dipende dalle masse e dai semiassi maggiori dei pianeti⁽⁶⁾.

Così, secondo il gruppo, un sistema più compatto è più instabile e caotico, e i giganti di ghiaccio rimbalzano verso l'esterno

Così il flusso dei corpi piccoli tra Saturno e Giove, e quindi il loro tasso di migrazione, aumenta brutalmente.

Conseguenza di questo periodo di migrazione veloce è una maggiore stabilità nelle eccentricità e nelle inclinazioni. E...

Le orbite finali dei pianeti dipendono dall'evoluzione del sistema immediatamente dopo l'evento di risonanza.

Così il modello di Nizza spiega le caratteristiche attuali delle orbite di Saturno, Urano,Giobe e Nettuno. I punti conclusivi possono, comunque, essere così riassunti:

• Saturno ha subito un incontro con uno o entrambi i giganti ghiacciati;
• La distanza tra le orbite di Giove e Saturno dipende dalla quantità di massa che trattano durante l'evoluzione del sistema;
• Le eccentricità di Giove e Saturno sono probabilmente il risultato del fatto che questi pianeti si sono incrociati con 1:2 MMR;
• L'attuale disco può in effetti essere dovuto alla presenza di una grande quantità di oggetti plutoniani^{(1, 14)}

Un'altro importante successo del modello di Nizza è la spiegazione della cattura dei troiani di Giove e Nettuno: per troiani si definiscono gli asteroidi catturati dai due pianeti e che condividono/percorrono le loro stesse orbite. In questo caso ci sono alcune interessanti conclusioni:

• Le origini dei troiani sono probabilmente da ricercarsi nei progenitori della nube di Oort e della fascia di Kuipert.
• I troiani sono apparentemente poveri in acqua. Le simulazioni spiegano anche questo fatto: prima della cattura, gli asteroidi erano molto eccentrici, ovvero passavano relativamente molto vicino al Sole.
• I troiani sono stati catturati immediatamente dopo l'incrocio tra Giove e Saturno.

In conclusione, i ricercatori credono che

i troiani rappresentano evidenze osservative per questo incrocio di risonanze, che è stato mostrato altrove⁽⁸⁾ per produrre le corrette orbite planetarie.

Dopo aver studiato i pianeti esterni, Gomes e colleghi si sono concentrati su quelli interni, in particolare per capire meglio il periodo del tardo bombardamento pesante⁽¹⁰⁾ (late heavy bombardment): durante questo periodo (approssimativamente trai 4,1 e i 3,8 miliardi di anni fa) un gran numero di asteroidi hanno colpito la superficie lunare e, per estensione, anche Terra, Marte, Venere, Mercurio. Dai risultati delle simulazioni, Gomes e colleghi hanno dedotto che l'LHB è stato causato dalla migrazione dei pianeti giganti.
I risultati sono mostrati utilizzando una immagine come quella che segue:

A sinistra il sistema solare prima della migrazione dei giganti; al centro all'inizio della migrazione; a destra dopo la migrazione.
Se preferite, eccovi la simulazione ufficiale, che ho caricato sul mio canale YouTube:

Lo schema di Nizza per l'LHB

èil risultato di un generico meccanismo di tarda migrazione, seguito da una instabilità, che è essa stessa indotta da un meccanismo deterministico dell'eccitazione orbitale dei pianeti⁽⁸⁾. Questo modificato schema di migrazione planetaria stima naturalmente le orbite planetarie attualmente osservate⁽⁸⁾, l'LHB, l'attuale distribuzione orbitale della principale fascia di asteroidi e l'origine dei troiani di Giove⁽⁹⁾.

Nel 2008 lo stesso gruppo, con l'aggiunta di Christa VanLaerhoven, prova a spiegare la formazione della fascia di Kuipert⁽¹²⁾.

La fascia di Kuipert è il relitto di un primordiale disco di planetesimi, formato da vari processi dinamici e collisionali che sono accaduti quando il sistema solare stava evolvendo verso la sua attuale struttura.

In questo caso i ricercatori hanno realizzato un certo numero di simulazione, poiché

in tutte le simulazioni del modello di Nizza che sono staterealizzate, ilnumero di oggetti lasciati nella classica fascia di Kuipert alla fine delle simulazioni era troppo piccolo per essere analizzato. Crediamo che ci siano due ragioni per ciò, entrambe legate al fatto che abbiamo usato un numero relativamente piccolo di particelle del disco. Primo, non ci aspettavamo che l'efficienza di cattura fosse molto larga e così non avremmo catturato molti oggetti. Forse più importante, l'evoluzione orbitale di Nettuno aveva una componente stocastica che era troppo importante, dovuta al fatto che il disco era rappresentato da oggetti massicci non-fisici.

Per aggiornare la simulazione, il gruppo ha utilizzato informazioni estratte da altri lavori^{(2, 11)} e ha utilizzato laseguente espressione per la forza gravitazionale ${\vec F}_{UN}$ tra Urano e Nettuno: \[\vec F_{UN} = G \frac{m_U m_N}{(\vec x_{UN}^2 + \vec \epsilon^2)^{\frac{3}{2}}}\vec x_{UN}\] dove $\vec x_{UN}$ è il vettore della posizione relativa tra Urano e Nettuno, $\vec \epsilon$ è un vettore costante di modulo 0,8 UA.
In particolare hanno realizzato tre (e più) simulazioni nelle quali hanno modificato la distribuzione degli oggetti. A puro titolo di esempio possiamo vederei risultati della regione trans-nettuniana per una delle tre simulazioni principali:

In conclusione: il modello di Nizza, così chiamato perché è lì che si trova l'Observatoire de la Côte d'Azu dove si trovava il nucleo originario al momento dello sviluppo del modello, spiega l'evoluzione del sistema solare a partire da una posizione dei pianeti più compatta. Dopo una distorsione delle orbite, che ha modificato una situazione orbitale instabile, i giganti sono migrati nell'attuale posizione, hanno catturato i troiani e generato il periodo del tardo bombardamento pesante (LHB). In ulteriori analisi, il gruppo ha provato a spiegare le osservazioni riguardanti la fascia di Kuipert con lo scopo di ottenere delle evidenze più forti riguardo il loro modello. I risultati non forniscono una conferma definitiva del modello stesso, ma sembrano indicare che la strada intrapresa sia corretta.
Personalmente credo che il seguente estratto⁽¹³⁾ è una precisa indicazione riguardo la percezione del modello tra gli astronomi:

Nello schema di questo modello, le distribuzioni orbitale e spaziale di troiani e hilda possono essere spiegate. La struttura della fascia di Kuipert è anch'essa ben riprodotta. In più i satelliti irregolari di Saturno, Urano e Nettuni possono essere catturati durante l'instabilità globale. Per queste ragioni, il modello di Nizza è uno dei più impressionanti risultati dell'ultima decade sulla formazione del sistema solare.

Immagine tratta da When giants roamed di Joe Hahn

Osservazione: In (12) c'è per la prima volta un riferimento al modello non solo come modello di Nizza, ma come il modello dell'evoluzione dinamica dei pianeti giganti. E' forse giunto il momento di chiamarlo modello dell'evoluzione dinamica del sistema solare?

Approfondimenti: The Nice Way To Build A Solar System di Steve Nerlich The Nice way to make a solar system di John G. Cramer Uranus, Neptune Swapped Spots, New Model Says di Anne Minard

(1) S. Stern On the number of planets in the outer solar system - Evidence of a substantial population of 1000-km bodies. Icarus 90, 271-281 (1991)
(2) R. Malhotra, The origin of Pluto's orbit: Implications for the Solar System beyond Neptune, Astron. J. 110, 420–429 (1995)
(3) Patrick J.B. et al., Formation of the giant planets by concurrent accretion of solids and gas. Icarus 164, 62-85 (1996)
(4) J.M. Hans, R. Malhotra Orbital evolution of planets embedded in a planetesimal disk. Astron. J. 117, 3041-3053 (1999)
(5) Lubow S.H., Seibert M., Artymowicz P. Disck accretion onto high-mass planets. Astrophys. J. 526, 1001-1012 (1999)
(6) C. Murray, S.F. Dermott Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, UK (1999)
(7) Rodney Gomes, Alessandro Morbidelli, Harold Levison Planetary migration in a planetesimal disk: why did Neptune stop at 30 AU? Icarus 470, 492-507 (2004)
(8) K. Tsiganis, R. Gomes, A. Morbidelli, H.F. Levison, Origin of the orbital architectureof the giant planets of the Solar System. Nature 435 (459-461) (2005)
(9) Chaotic capture ofJ upiter's Trojan asteroids in the early Solar System, Nature 435, 462-465 (2005)
(10) R. Gomes, H.F. Levison, K. Tsiganis, A. Morbidelli, Origin of the cataclysmic Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets, Nature 435, 466-469 (2005)
(11) J. Kominami, H. Tanaka, S. Ida, Orbital evolution and accretion of protoplanets tidally interacting with a gas disk, Icarus 178, 540–552 (2005)
(12) H.F. Levison, A. Morbidelli, C. VanLaerhoven, R. Gomes, K. Tsiganis, Origin of the structure of the Kuiper belt during a dynamical instability in the orbits of Uranus and Neptune, Icarus 196, 258–273 (2008)
(13) A. Crida, Solar System formation (2009 - arXiv)
(14) For space vagabond, it could be interesting T. Sumi et al. Unbound or distant planetary mass population detected by gravitational microlensing. Nature, 473 (7347), 349-352 (2011)

Gomes, Rodney, Morbidelli, Alessandro, & Levison, Harold (2004). Planetary migration in a planetesimal disk: why did Neptune stop at 30 AU? Icarus, 170 (2), 492-507 DOI: 10.1016/j.icarus.2004.03.011

Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., & Levison, H. (2005). Origin of the orbital architecture of the giant planets of the Solar System Nature, 435 (7041), 459-461 DOI: 10.1038/nature03539

Morbidelli, A., Levison, H., Tsiganis, K., & Gomes, R. (2005). Chaotic capture of Jupiter's Trojan asteroids in the early Solar System Nature, 435 (7041), 462-465 DOI: 10.1038/nature03540

Gomes, R., Levison, H., Tsiganis, K., & Morbidelli, A. (2005). Origin of the cataclysmic Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets Nature, 435 (7041), 466-469 DOI: 10.1038/nature03676

Levison, H., Morbidelli, A., VanLaerhoven, C., Gomes, R., & Tsiganis, K. (2008). Origin of the structure of the Kuiper belt during a dynamical instability in the orbits of Uranus and Neptune Icarus, 196 (1), 258-273 DOI: 10.1016/j.icarus.2007.11.035