Di trattrici e pseudosfere

(commons)

Partiamo dall'inizio, ovvero dalla trattrice, che in questo caso non è un trattore agricolo, ma una delle tante curve matematiche che si trovano un po' in giro dappertutto, anche in natura.
La storia di questa curva inizia quando un anatomista francese, Claude Perrault, fratello del più famoso narratore Charles, propose nel 1676, probabilmente nei locali dell'Accademia della Scienza parigina, al grande Leibniz il seguente quesito: dopo aver posto un orologio con catena sul tavolo, trascinò l'orologio spostando l'estremità opposta della catena. A questo punto chiese: Quale è la curva lungo la quale si muove l'orologio?⁽¹⁾
Il primo a rispondere nel 1693⁽²⁾ (o forse sul finire dell'anno precedente) fu Christiaan Huygens in una lettera a un amico⁽³⁾. La curva, che fu proprio Huygens a definire trattrice, descrive in pratica il moto di un punto che viene trascinato su un piano con attrito da un segmento costante la cui estremità libera si muove di moto rettilineo uniforme. Dal punto di vista matematico la curva può essere rappresentata utilizzando le così dette funzioni iperboliche: \[x = \frac{1}{\cosh t}\] \[y = t - \tanh t\] dove il parametro $t$ appartiene all'intervallo $[0, 2\pi]$.
Anche Leibniz si interessò alla curva e realizzò un modello, basato proprio sulle trattrici, con il quale integrava qualsiasi equazione differenziale.
Una proprietà piuttosto spettacolare della trattrice è poi quella legata alle rette perpendicolari (o normali) alla curva. Se disegniamo tutte le rette perpendicolari, ad esempio, a uno dei due assi o a una qualunque retta sul piano, queste rette copriranno l'intero piano. Se invece facciamo la stessa operazione con tutte le rette perpendicolari a una trattrice (ma questo succede anche con altre curve), queste copriranno solo una porzione del piano. Il confine tra il piano coperto dalle rette e quello rimasto scoperto è esso stesso una curva, l'inviluppo⁽⁴⁾, che nel caso della trattrice è la catenaria, in questo caso detta evoluta della trattrice.
E così come la catenaria ha il suo equivalente nella vita reale, essendo questa la curva di una catena sotto l'azione della gravità, anche la trattrice ha il suo equivalente nella vita reale⁽⁵⁾:

Quando dunque i maghi esperti e gli abili manipolatori di carte mettono il mazzo nella posizione di cui sopra in realtà stanno semplicemente rappresentando una trattrice, una curva che, come vedete nell'immagine successiva, è anche molto stabile per spostamento del vertice:

E questa sua stabilità la trattrice la trasmette anche alla pseudosfera, che è la superficie generata dalla curva quando la si fa ruotare intorno al proprio asintoto (la retta lungo la quale si muove il trattore)⁽⁵⁾:

La pseudosfera è una superficie proposta nel 1868 dal matematico italiano Eugenio Beltrami nel Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea^{(6, 7)} (pdf) come modello per sviluppare della geometria iperbolica. La sua curvatura è data da: \[k = -\frac{1}{R^2}\] dove $R$ è il raggio di una sfera usuale.
L'idea di fondo del trattato di Beltrami, però, è capire se il criterio fondamentale di dimostrazione della geometria elementare, ovvero la sovrapponibilità delle figure equali è valido anche per geometrie non euclidee sia a curvatura positiva, come può essere ad esempio una sfera, sia a curvatura negativa, come il caso della pseudosfera. Il problema è anche semplicemente riscrivibile in questi termini: prendiamo due rette tracciate su due piani distinti. La geometria piana ci assicura che se queste due rette si sovrappongono su almeno due punti, si sovrapporranno completamente su ogni punto. Questo postulato delle rette può essere agevolmente trasformato in un postulato delle geodetiche, ovvero le curve che, su una superficie, uniscono due punti ad essa appartenenti (non potendo tagliare la superficie per unire i punti, la geodetica è l'unica via possibile). Ora, nel caso di superfici a curvatura positiva, si può riscrivere pari pari il postulato delle rette:

se si hanno due superficie, la cui curvatura sia costante in ogni punto ed eguale in entrambe, e se su ciascuna di esse esiste una linea geodetica, facendo combaciare le due superficie in modo che le geodetiche si sovrappongano in due punti, esse riescono sovrapposte (generalmente) in tutta la loro estensione.

La geometria planare e quella sferica, però, non sono completamente analoghe come questo postulato suggerirebbe. Se infatti prendiamo due punti su una sfera, a meno che questi non siano uno opposto all'altro, non è possibile individuare un'unica geodetica sulla superficie della sfera che collega i due punti. A questo punto la domanda sorge spontanea:

(...) può egli darsi il caso, su queste ultime superficie [quelle a curvatura negativa], che due punti non determinino una sola ed individuata linea geodetica?

Con questo obiettivo in mente Beltrami ha sviluppato le pseudosferee la geometria pseudosferica, trovando risultati in accordo con altri tipi di geometrie non-euclidee (come la somma degli angoli interni di un triangolo geodetico) e soprattutto descrivendo il quadrato dell'elemento lineare della superficie pseudosferica, $\text{d} s^2$, un oggetto matematico che assume una certa importanza all'interno della relatività, speciale e generale. Il $\text{d} s^2$ possiamo, infatti, immaginarlo come la più piccola porzione di superficie a nostra disposizione. Quando voglio capire il rapporto tra le equazioni della fisica e il mondo reale, poi, verifico il tipo di $\text{d} s^2$ che seguono, ovvero il tipo di spazio nel quale agiscono queste equazioni. E ad esempio nel caso delle equazioni di Maxwell, si scopre che lo spazio geometrico nel quale meglio possono essere descritte è uno a geometria non-euclidea. E infatti il $\text{d} s^2$ che viene utilizzato dai teorici della relatività è non molto diverso dai molti $\text{d} s^2$ calcolati da Beltrami nel suo saggio.

(1) La tradizione tedesca suggerisce che, invece, l'idea della curva nasca da un cane che viene trascinato dal suo padrone. In questo caso la trattrice rappresenta la curva del cane quando il padrone lo trascina usando il guinzaglio teso al massimo (MathWorld)
(2) Hystory of math
(3) Encyclopedia of Science
(4) In effetti l'inviluppo è tecnicamente la curva tangente a tutte le rette descritte sopra.
(5) Sudo make me a pseudosphere
(6) La pseudosfera di Beltrami di Antonio Bernardo
(7) Eugenio Beltrami e il suo modello per la geometria iperbolica