Bernoulli e il vaiolo
La storia inizia da lontano, ma neanche tanto. Siamo nel 1760 quando il matematico svizzero Daniel Bernoulli pubblica il primo articolo di matematica applicato all'epidemiologia. Il suo principale interesse era il vaiolo, che causava non pochi morti in Europa e non solo. Il matematico, dopo un preciso studio statistico, giungeva alla conclusione che, per combattere e sconfiggere il vaiolo l'unica arma efficace era la vaccinazione. L'articolo venne successivamente riportato alla luce da Klaus Dietz e J.A.P. Heesterbeek(2), che ne forniscono una descrizione nei termini della matematica moderna.
In pratica, alla fine dei calcoli, sorgeva l'impossibilità di eliminare il potere di contagio del vaiolo tra i suscettibili, conducendo così Bernoulli alla proposta che l'unico modo per eliminare tale potere di contagio fosse solo attraverso la vaccinazione. E vista l'eradicazione (o cancellazione) del vaiolo dalla faccia della Terra avvenuta sul finire degli anni Settanta del XX secolo, non gli si può dare tutti i torti. Certo ci sarebbe da ricordare che ci sono in giro scorte di vaiolo conservate a scopo di studio, però questa terribile malattia non è più in giro, a meno che qualcuno non decida diversamente.
L'importanza della vaccinazione
Dopo la botta complottista con cui ho chiuso il capitoletto precedente, ovviamente suggerita da questi tempi difficili che stiamo vivendo, facciamo un salto fino al 1927 quando William Kermack e A. G. McKendrick(1) propongono quello che viene considerato come il primo modello matematico moderno delle epidemie. Nonostante il tempo e i modelli che sono passati sotto i ponti da allora (poco più di novant'anni), il modello di Kermack e McKendrick è ancora qualitativamente valido, ed è descritto da questa particolare funzione:
\[I(t) = -S(t) + S_0 + I_0 + \frac{\alpha}{\beta} \ln \frac{S(t)}{S_0}\]
Vediamo il significato di ciascuno dei simboli: innanzitutto $I$ sono gli infetti, e quindi $I_0$ sono quelli che si sono infettati all'inizio; $S$ sono i sucettibili, e dunque $S_0$ è la quantità di individui potenzialmente contagiabili all'inizio; $\alpha$ è un parametro legato al periodo di tempo che perdura l'infezione (chiamiamolo costante infettiva); $\beta$ è il tasso di trasmissione.Come molti modelli, anche questo permette di fare previsioni sull'andamento del contagio, in particolare al variare dei parametri in gioco. Ad esempio prendiamo il rapporto tra $\alpha$ e $\beta$: se si aumenta tale frazione si riesce a ridurre il numero massimo di infetti. La cosa può essere fatta o riducendo il tasso di trasmissione o aumentando la costante infettiva.
In termini pratici abbiamo, allora, due strategie. La prima, quella che punta alla riduzione di $\beta$, implica l'adozione di misure di prevenzione ed educazione da parte della popolazione per ridurre il numero di persone suscettibili. Ad esempio lavarsi le mani o indossare le mascherine, soprattutto se si è già malati. L'aumento del paramentro $\alpha$ è equivalente a ridurre il periodo di infezione, che è proporzionale a $1/\alpha$, e corrisponde alla ricerca di un trattamento che rende il contagiato infettivo per un periodo di tempo più breve. Ad esempio facendo assumere al paziente delle medicine che gli permettono di sconfiggere la malattia in un tempo inferiore rispetto a quello che sarebbe necessario senza alcun intervento medico.
Nell'immagine che metto qui sotto, l'aumento di $\alpha/\beta$ corrisponde a spostare verso destra e abbassare il picco della curva degli infetti. In quell'immagine, però, vedete che esiste una seconda strategia ancora più efficace (non fare nulla, che poi coincide con la prima curva, non è una strategia): ridurre il numero di individui suscettibili. E questo è possibile farlo immunizzando quanti più suscettibili possibile attraverso la vaccinazione.
L'importanza di dati accurati
Arrivati qui avrete notato che non ho parlato di un parametro che è sulla bocca di tutti. Non preoccupatevi: è arrivato il momento del così detto numero di riproduzione $R_0$. Essp è definito a partire dai parametri $\alpha$, $\beta$, $S_0$ combinati nella formula seguente:
\[R_0 = S_0 \frac{\beta}{\alpha}\]
Quando $R_0$ è più grande di 1, allora si parla di epidemia, quando $R_0$ è minore di 1 allora gli individui hanno raggiunto la così detta immunità di gregge. Capite bene, allora, che gli interventi per abbassare $R_0$ coincidono con gli interventi descritti poc'anzi.Il parametro $R_0$, però, non è importante solo per valutare la forza di un'epidemia, ma anche per avere un'idea di quanti individui è necessario vaccinare per ridurre il numero di riproduzione. La percentuale è all'incirca \[1 - \frac{1}{R_0}\] e quando è superiore a tale valore, si può considerare la vaccinazione efficace non solo per controllare, ma anche per eradicare il contagio. Tale valore per il vaiolo è stato valutato in all'incirca l'80% della popolazione mondiale.
Ovviamente allo stato attuale non disponiamo di alcuna vaccinazione e, come ha dimostrato Bernoulli con il vaiolo, senza vaccinazione l'eradicazione di un virus, incluso questo nuovo coronavirus, è impossibile. La riduzione delle distanze sociali è, al momento, l'unico intervento realmente efficace. Il problema è, però, che senza dati realmente accurati non si può sperare di valutarne l'efficacia.
L'importanza dell'accuratezza dei dati diventa evidente se pensiamo alle due caratteristiche principali del modello: il valore massimo raggiunto dalla curva degli infetti e il parametro $R_0$. Il primo dato, infatti, ci fornisce un'idea del momento di massima forza del virus e della durata del contagio (e dunque, come nel caso specifico, della durata degli "arresti domiciliari"), mentre il secondo dato ci permette di determinare il numero minimo di individui da vaccinare per sperare di eradicare il virus. E queste informazioni possono realmente fare la differenza tra la vita e la morte.
La forma delle curve
L'ultima parte del post la dedico a dare un'ulteriore spiegazione legata al video con cui concludo. Nel video si spiega bene cos'è una crescita esponenziale e, in particolare, si fornisce uno strumento importante per valutare quando la curva che descrive un contagio in atto sta modificando la sua curvatura, ovvero quando si sta avvicinando al picco. Gli elementi che permettono di valutare tale passaggio sono quelli che in gergo tecnico si chiamano rapporti incrementali. In pratica è la differenza tra i contagi di oggi e i contagi di ieri. Questa differenza fornisce la così detta derivata prima: quando tale differenza si annulla, allora abbiamo raggiunto un punto di stabilità, che per la curva in oggetto è il picco. Per valutare, però, il cambio di curvatura è necessario invece passare alla derivata seconda, che è ovviamente il rapporto incrementale della derivata prima.Nel caso reale di un contagio si opera in questo modo: si calcola la differenza tra oggi e ieri e la differenza tra ieri e l'altro ieri e si confrontano queste differenze sottraendole una all'altra. Quando tale ulteriore sottrazione passa da positiva a negativa, allora vuol dire che la curva ha subito un cambio di pendenza, ovvero ha superato un così detto punto di flesso.
Nella speranza che tutto ciò possa aver chiarito un po' la faccenda e soprattutto dato un'idea dell'importanza di avere dati accurati e affidabili, vi lascio al video di 3Blue1Brown:
- Kermack, W. O., & McKendrick, A. G. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the royal society of london. Series A, Containing papers of a mathematical and physical character, 115(772), 700-721. doi:10.1098/rspa.1927.0118 ↩
- Dietz, K., & Heesterbeek, J. A. P. (2002). Daniel Bernoulli’s epidemiological model revisited. Mathematical biosciences, 180(1-2), 1-21. doi:10.1016/S0025-5564(02)00122-0 ↩
- Glomski, M., & Ohanian, E. (2012). Eradicating a disease: lessons from mathematical epidemiology. The College Mathematics Journal, 43(2), 123-132. doi:10.4169/college.math.j.43.2.123 (pdf) ↩
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