Nato il 17 dicembre del 1842 (quindi sono puntualmente in ritardo per raccontarvi le solite quattro cose!) iniziò ufficialmente la sua carriera matematica nel 1869 quando venne pubblicato il suo primo lavoro matematico, Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie (più o meno rappresentazione degli immaginari in geometria piana) sulla rivista Journal für die reine und angewandte Mathematik. L'uscita dell'articolo gli permise di ottenere una borsa di studio che gli consentì di andare a Berlino, dove rimase dal settembre di quello stesso anno fino al febbraio dell'anno successivo.
Il suo interesse verso la matematica, però, era stato puramente incidentale: il suo desiderio era, infatti, intraprendere una carriera militare, che gli era preclusa a causa dei suoi problemi di vista. Fu così che si iscrisse all'Università di Christiania, la moderna Oslo, dove seguì vari corsi scientifici. Tra questi c'erano in particolare il corso di Ludwig Sylow incentrato sui lavori di Abel e Galois tenuto nel 1862 (anche se è un po' in dubbio che Lie seguì le sue lezioni, sebbene l'argomento delle sue ricerche suggerirebbe il contrario) e quello di Carl Bjerknes sulla matematica. Ad ogni modo Lie non aveva mostrato alcuna particolare capacità matematica e anzì restò per un annetto circa nel limbo di quale interesse intraprendere tra i molti esplorati (fisica, zoologia, astronomia...). Poi nel 1866 iniziò a divorare libri di matematica dalla biblioteca dell'università(1).
E fu allora che la passione per questa affascinante disciplina lo prese, si potrebbe dire inevitabilmente: raccontano gli annali(1) che nel mezzo della notte, dopo aver raggiunto una brillante nuova idea matematica, Lie andò di corsa a svegliare il suo amico Ernst Motzfeldt che evidentemente dormiva beato dicendogli:
L'ho trovata, ed è piuttosto semplice!Forse l'idea cui si riferiva era quella che lo avrebbe portato all'articolo sui numeri immaginari: d'altra parte la strada intrapresa gli era stata suggerita dai lavori di Julius Plücker e Jean-Victor Poncelet, con in particolare il primo che si occupò di geometria analitica(1), fondamentale proprio per i gruppi di Lie.
Torniamo, però, al giovane Sophus in viaggio per l'Europa. Dopo Berlino, città dove conobbe Feliz Klein, di cui peraltro divenne buon amico, si spostò a Parigi, dove venne raggiunto da Klein un paio di mesi più tardi. Qui conobbe i matematici Camille Jordan e Gaston Darboux: in particolare fu proprio l'incontro con la Jordan a dare a Lie la consapevolezza di quanto la teoria dei gruppi, oggetto delle ricerche della matematica francese, fosse importante per la geometria(1).
Le sue peregrinazioni, però, vennero interrotte dalla guerra franco-prussiana scoppiata il 19 luglio 1870, che costrinse Klein ad abbandonare la Francia. Il problema fu che lo stesso Lie si ritrovò in una situazione incresciosa: sospettato di essere una spia prussiana, venne arrestato, per poi venire rilasciato un mese più tardi grazie all'intervento di Darboux. Nel frattempo, però, Lie era diventato famoso in Norvegia proprio grazie al suo arresto.
La sua carriera accademica successiva al ritorno in patria, avvenuto all'incirca nel 1871 quando divenne assistente a Christiania. I risultati del suo lavoro, che lo portarono al dottorato nel luglio del 1872, mostrarono quanto Lie fosse diventato un matematico di grande abilità e ciò spinse il parlamento norvegese a istituire per lui una cattedra in matematica a Erlangen.
Il suo lavoro più noto, però, è quello dedicato ai gruppi di trasformazione, oggi noti come gruppi di Lie, sviluppato in un poderoso trattato in tre volumi Theorie der Transformationsgruppen, pubblicato a Leipzig tra il 1888 e il 1893 con l'aiuto di Friedrich Engel, matematico tedesco giunto a Christiania nel 1884.
Ora, per avere un'idea di cosa sia un gruppo di Lie, cerchiamo di farci innanzitutto un'idea di cosa sia un gruppo: un insieme in cui introduciamo un'operazione è detto gruppo se, stringendo stringendo, i risultati dell'operazione danno come risultato un elemento dell'insieme di partenza. Un gruppo di Lie è un gruppo topologico (ovvero un gruppo che ha anche le proprietà di uno spazio, nel dettaglio uno spazio topologico) le cui operazioni sono funzioni analitiche, ovvero funzioni che possono essere sviluppate come somma di potenze intorno a un elemento del gruppo.
Un esempio di gruppo di Lie importante per la fisica è quello che possiamo costruire a partire dalle matrici di Pauli, importanti per la rappresentazione matematica dello spin delle particelle, oppure il gruppo di Weyl-Heisenberg, da cui è possibile ottenere le relazioni di commutazione canoniche a loro volta direttamente connesse con il principio di indeterminazione di Heisenberg. Altro esempio di gruppo di Lie è quello costituito dalle relazioni di trasformazione di Galileo che permette di passare da un sistema di riferimento a un altro in moto relativo rispetto al primo e che è alla base dell'equazione di Schrodinger.
Pur non rientrando nella categoria dei matematici romantici, Lie ebbe anch'esso i suoi bravi problemi di salute: nel 1889 soffrì di una non meglio specificata malattia mentale, dopo la quale tagliò i rapporti con Klein ed Engel. Non è detto, però, che tale allontanamento fosse dovuto esclusivamente alla malattia: secondo Straume il motivo principale fu il così detto Programma di Erlangen di Klein, che in realtà vedeva proprio in Lie il principale motore creativo. E quando si arrivò alla ricostruzione storica degli eventi, quello che scrisse Klein non sembra piacque molto a Lie, che non è difficile immaginare come la prese(1).
Alla fine fu l'anemia, causata da un errato assorbimento della vitamina B12, a portare via Lie all'età di soli 56 anni.
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