Le grandi domande della vita: Speciale Terra di Mezzo

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Come spesso succede, organizzo i post in gruppi, a volte consecutivi, altre più o meno sparsi. E così, giusto perché una trilogia è sempre meglio di una coppia, ecco che dopo la recensione de La storia di Kullervo e l'articolo sull'ultima luna d'autunno arriva uno speciale de Le grandi domande della vita dedicato alla Terra di Mezzo di J.R.R. Tolkien.

La forma della Terra di Mezzo

Steven Weinberg è uno dei più noti fisici teorici del XX secolo. Insieme con Abdus Salam e Sheldon Glashow ha vinto il Premio Nobel per la fisica nel 1979 per l'unificazione della forza debole con quella elettromagnetica. Nell'introduzione del suo poderoso libro Gravitation and cosmology: principles and applications of the general theory of relativity discute le origini della geometria non-euclidea e propone una mappa interessante con tanto di domanda intrigante: La Terra di Mezzo è piatta?

Come spiegavo qualche giorno fa, per determinare la curvatura o meno di una superficie, un metodo pratico è quello di misurare gli angoli di un triangolo sufficientemente grande tracciato sulla sua superficie. Se però prendiamo quattro punti distinti sulla superficie, possiamo prendere le 6 distanze relative tra i quattro punti scelti per determinare, attraverso una relazione più o meno complicata, la metrica della superficie. In particolare se i quattro punti fanno parte di una rete semplicemente connessa⁽¹⁾ o più in generale di un piano allora la relazione seguente risulta verificata: \[0 = d_{12}^4d_{34}^2 + d_{13}^4d_{24}^2 + d_{14}^4d_{23}^2 + d_{23}^4d_{14}^2 + d_{24}^4d_{13}^2 + d_{34}^4 d_{12}^2+\] \[+ d_{12}^2 d_{23}^2 d_{31}^2 + d_{12}^2 d_{24}^2d_{41}^2 + d_{13}^2d_{34}^2d_{41}^2 + d_{23}^2d_{34}^2d_{42}^2+\] \[- d_{12}^2d_{23}^2d_{34}^2- d_{13}^2d_{32}^2d_{24}^2 - d_{12}^2d_{24}^2d_{43}^2 - d_{14}^2d_{42}^2d_{23}^2+\] \[- d_{13}^2d_{34}^2d_{42}^2 - d_{14}^2d_{43}^2d_{32}^2 - d_{23}^2d_{31}^2d_{14}^2 - d_{21}^2d_{13}^2d_{34}^2+\] \[- d_{24}^2d_{41}^2d_{13}^2 - d_{21}^2d_{14}^2d_{43}^2 - d_{31}^2d_{12}^2d_{24}^2 - d_{32}^2d_{21}^2d_{14}^2\] Se si utilizzano i valori presenti sulla mappa tratta dal libro di Weinberg l'espressione di cui sopra risulta non verificata. Inoltre, anche se non ho controllato i calcoli nella risposta di achille hui, la Terra di Mezzo si trova su un pianeta sferico, il cui raggio potrebbe avere uno dei seguenti valori: 919 km o 1116 km, quindi un pianeta piuttosto piccolo se confrontato con la nostra Terra, che ha un raggio di circa 6371 km. Al momento non sono stati scoperti pianeti così piccoli all'esterno del Sistema Solare, a parte Kepler-37b che è però all'incirca il doppio della Terra di Mezzo, il cui raggio è, invece, compatibile con quello di Plutone (1188 km), che al momento è classificato come pianeta nano.

Matematica elfica

Vista la saggezza mostrata in varie occasioni dagli elfi, è più che normale chiedersi quali fossero le loro conoscenze matematiche. Per quanto Tolkien non abbia mai scritto esplicitamente nulla sul caso, si può supporre innanzitutto che il loro sistema di numerazione fosse in base 12, non solo per via della struttura del loro calendario, ma anche perché in una lettera a Edmund Meskys del novembre del 1972 lo scrittore britannico mostra una decisa predilezione per il sistema a base 12. D'altra parte durante la rivoluzione francese si era considerata seriamente l'ipotesi di utilizzare tale sistema in luogo di quello in base 10, considerando quello in base 12 come più naturale.
Inoltre in qualche modo erano in grado di portare a termine calcoli astronomici più o meno semplici, quindi avevano comunque una certa conoscenza dell'algebra. D'altra parte gli elfi possedevano delle buone abilità ingegneristiche, almeno relativamente alla costruzione degli edifici, e quindi si potrebbe concludere che le loro conoscenze matematiche erano "limitate" alla matematica applicata di tipo medioevale.
Un elemento interessante è, però, l'osservazione delle loro capacità logiche e deduttive che suggerirebbe come risulterebbero particolarmente abili nella programmazione informatica.
Per cui se è probailmente difficile ritenere gli Elfi in grado di sviluppare una matematica raffinata come quella, ad esempio, del Modello Standard, non è improbabile pensare che in campo logico le loro abilità e conoscenze fossero almeno di livello carrolliano.

La dimostrazione matematica come il viaggio di Frodo

L'ultima sezione di questa puntata speciale è dedicata a Marcus du Sautoy con la traduzione di un estratto dedicato alla dimostrazione matematica tratta da un suo intervento durante l'evento Narrative and proof organizzato dall'Università di Oxford:

Una dimostrazione è come il diario di viaggio di un matematico. Fermat guardò fuori dalla finestra della matematica e individò in lontananza questo picco matematico: l'affermazione che le sue equazioni non hanno soluzioni per numeri interi. La sfida per le generazioni successive di matematici fu quella di trovare un percorso che conducesse dai territori familiari che il matematico ha già navigato verso nuove terre sconosciute.
[E'] un po' come le avventure di Frodo ne Il Signore degli Anelli. Una dimostrazione è una descrizione del viaggio dalla Contea fino a Mordor. All'interno dei confini della familiare terra della Contea ci sono gli assiomi della matematica, le ovvie verità sui numeri insieme con quelle proposizioni che sono già state dimostrate. Questa è l'impostazione per l'inizio della ricerca. Il viaggio da questo territorio è quindi vincolaro alle regole della deduzione matematica, come le mosse legittime di un pezzo degli scacchi, che prescrive i passi che è permesso compiere attraverso questo mondo.
A volte, potrete arrivare in quella che sembra una impasse ed è necessario prendere quel caratteristico passo laterale, spostandosi di lato o addirittura indietro per trovare un modo per girarvi intorno. A volte è necessario aspettare che vengano create nuove entità matematiche, come i numeri immaginari o il calcolo, così da poter compiere il prossimo passo. La dimostrazione è la storia del viaggio e della mappa che traccia le coordinate del viaggio. Il diario del matematico.

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1. Uno spazio semplicemente connesso è uno spazio senza buchi, ovvero uno spazio dove qualunque percorso può essere in qualche modo ridotto a un punto. ↩