Cos'è lo spin semi-intero

ho provato a spiegarlo con la teoria dei gruppi @peppeliberti @le_scienze

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In occasione della scoperta delle particelle di Weyl, soluzioni di una particolare equazione scoperta da Weyl giocando un po' con la più famosa equazione di Dirac, su Le Scienze, la redazione della rivista a proposito dello spin ha scritto:

Una delle caratteristiche quantistiche fondamentali delle particelle è lo spin, indicato con un numero adimensionale, che può essere immaginato come la rotazione di una particella attorno al proprio asse.

La similitudine classica tra spin e rotazione di una pallina intorno al proprio asse, che come ricorda Peppe non è corretta, è dovuta, essenzialmente, al fatto che lo spin emerge quando si va a studiare il gruppo delle rotazioni, e questo ovviamente genera un'ambiguità dovuta probabilmente alla difficoltà di reperire dettagli tecnici sulla questione. Vediamo, allora, se riesco a fornirveli (spero non vi perdiate troppo!)

vignetta di Elwood Smith per il New Yorker

Teoria delle rappresentazioni: breve sintesi

Un gruppo, come scritto molte volte, è un insieme di oggetti matematici con un'operazione interna che possiede le seguenti tre proprietà: associativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso. A puro titolo di esempio, se prendiamo i numeri naturali con l'operazione di somma otteniamo una struttura di gruppo:

• Proprietà associativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$
• Elemento neutro: $a + 0 = 0 + a = a$
• Inverso: $a + (-a) = 0$

Un gruppo di simmetria è invece un insieme di operazioni di simmetria, come per esempio le traslazioni (spostamenti nello spazio) o le rotazioni, di cui ci occuperemo più avanti.
Quando si studia un gruppo di simmetria, che ha un'importanza fondamentale per la fisica, si utilizzano le così dette rappresentazioni, ovvero delle "trasposizioni matematiche" degli elementi del gruppo, in maniera tale da derivare più semplicemente le proprietà della rappresentazione.
Ad esempio una delle rappresentazioni più amate dai fisici è la rappresentazione matriciale (dove per matrice si intende una tabella di numeri con $n$ righe ed $m$ colonne, dove $n$, $m$ sono in generale diversi).
Le rotazioni, come scritto poc'anzi, formano un gruppo, tecnicamente chiamato $SO (3)$, che possiede varie rappresentazioni: la forza della teoria è che le proprietà di ciascuna rappresentazione sono identiche, anche se alcune rappresentazioni possono essere più semplici di altre da studiare.

Fattore di fase

Secondo quella che viene usualmente chiamata come teoria delle rappresentazioni proiettive, la rappresentazione più generale possibile in un gruppo implica l'esistenza di un fattore di fase. Ovvero, supponiamo che il nostro gruppo sia costituito dagli elementi $A$, $B$, $C$, $\cdots$ Allora esiste una rappresentazione $R$ del gruppo è proiettiva se \[R(A) R(B) = e^{f(A,B)} R(B) R(A)\] dove $f(A,B)$ è il fattore di fase. Se questo coincide con il fattore banale $0$, allora la rappresentazione si dice unitaria: \[R(A) R(B) = R(B) R(A)\] Mi scuso per la matematica fin qui messa, ma risulta necessaria per comprendere cosa sia lo spin: esso è legato proprio al fattore di fase del gruppo delle rotazioni. Non però a come si ruota, ma a qualcosa di più sottile che proverò a spiegarvi con la seguente immagine.

Sfera parametrica

Costruiamo una sfera di raggio $\pi$, che chiameremo sfera parametrica. Su ciascun punto della sfera andremo a identificare una data rotazione. Posso poi definire un percorso: prendiamo una data rotazione sulla sfera parametrica e applichiamo una seconda rotazione. Il punto si sposterà da qualche altra parte sulla sfera parametrica. Si definisce allora percorso l'insieme delle rotazioni infinitesime che mi permettono di spostarmi dal punto iniziale al punto finale lungo la sfera parametrica. Ovviamente per collegare due punti qualsiasi sulla sfera esistono più percorsi, che possiamo classificare in due grandi classi: i percorsi che non contengono salti e i percorsi che contengono un salto, dove per salto si intende un punto di discontinuità lungo il percorso, ovvero a un certo punto il percorso prosegue in un punto sulla sfera parametrica che non segue in maniera continua al punto precedente (che non è direttamente collegato al punto precedente, per essere più terra terra!).
Possiamo associare ad ognuno dei percorsi un fattore differente: +1 per i percorsi appartenenti alla prima classe, -1 per i percorsi appartenenti alla seconda classe. Otteniamo così una rappresentazione del gruppo delle rotazioni che, senza scendere in dettagli eccessivamente tecnici, è proiettiva.

Le rotazioni in fisica

In fisica il modo usuale per rappresentare le rotazioni è utilizzare delle matrici $2 \times 2$. La particolare rappresentazione utilizzata prevede la presenza delle matrici di Pauli: tale rappresentazione viene indicata con il nome di $SU (2)$.
Anche questa rappresentazione presenta un fattore di fase, che vale $\pm \frac{1}{2}$, fisicamente associato al momento angolare di una particella che risponde alla statistica di Fermi (ovvero a un fermione, particelle che non amano stare particolarmente vicine). Poiché, come detto prima, posso passare da una rappresentazione differente all'altra, è semplice dedurre che il fattore di fase di $SU (2)$ è associato al fattore di fase della sfera parametrica.
Possiamo quindi concludere che lo spin di un fermione è una proprietà topologica (semplificando, geometrica) della particella dovuta alle rotazioni (o ai modi in cui la particella risponde all'azione delle rotazioni) e fisicamente associata al momento angolare della particella. Quest'ultimo, però, non è l'analogo classico del momento angolare, ma è invece il momento angolare orbitale (associato per esempio alla rotazione dell'elettrone intorno al nucleo, e quindi al tipo di orbitale) ad essere, anche matematicamente parlando, il suo analogo classico.

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Ah! Il punto nodale della scoperta è che sono state rilevate delle particelle (o qualcosa che assomiglia a delle particelle) prive di massa ma con spin semi-intero, ovvero gli oggetti descritti dall'equazione di Weyl, che vanno (o andranno, quando ci saranno altri esperimenti che confermeranno l'osservazione) così ad aggiungersi alle particelle descritte dall'equazione di Dirac, ovvero particelle questa volta massive con spin semi-intero.

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I due articoli fondamentali per la stesura del post sono:

Bargmann, V. (1954). On Unitary Ray Representations of Continuous Groups The Annals of Mathematics, 59 (1) DOI: 10.2307/1969831

per quel che riguarda le rappresentazioni proiettive, e

Altmann, S. (1979). Double groups and projective representations I. General theory Molecular Physics, 38 (2), 489-511 DOI: 10.1080/00268977900101831

Per quel che riguarda lo spin visto nell'ottica della teoria dei gruppi (in particolare del gruppo $SO(3)$.
A questi due, riferendosi strettamente allo spin, sono da aggiungersi i seguenti classici articoli:

Hurley, A. (1966). Ray Representations of Point Groups and the Irreducible Representations of Space Groups and Double Space Groups Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 260 (1108), 1-36 DOI: 10.1098/rsta.1966.0027

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Wigner, E. (1939). On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group The Annals of Mathematics, 40 (1) DOI: 10.2307/1968551

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Hegerfeldt, G., Kraus, K., & Wigner, E. P. (1968). Proof of the Fermion Superselection Rule without the Assumption of Time-Reversal Invariance Journal of Mathematical Physics, 9 (12) DOI: 10.1063/1.1664539