Misurare gli zeri di Riemann

Un grazie a Massimiliano Tanzini per la segnalazione su twitter

---

L'ipotesi, o forse si dovrebbe meglio dire la congettura di Riemann è legata al lavoro di Bernhard Riemann sui numeri primi, in particolare sulla loro distribuzione.
Riemann scoprì una funzione, oggi nota come zeta di Riemann, \[\zeta (x) = \prod_{p}^\infty \frac{1}{1 - p^{-x}}\] con $p$ numero primo.
La congettura afferma che

La parte reale di ogni radice non banale della funzione zeta è $1/2$.

Tra i matematici che più di tutti cercarono di dimostrare la congettura c'è Louis de Branges de Bourcia che ha proposto diverse versioni di una possibile dimostrazione, la prima delle quali venne dimostrata errata, mentre le successive vengono ritenute non sufficienti per attaccare il problema.
Non mi lancio in una disamina di possibili dimostrazioni, di indizi sulla sua verità o sulla sua falsità, ma sottolineerei in questa sede come nel 1987 Andrew Odlyzko⁽¹⁾ mostrò come gli zeri della zeta erano molto simili agli autovalori di una matrice hermitiana casuale⁽²⁾. Questo genere di matrici risultano però fondamentali nella meccanica matriciale della meccanica quantistica sviluppata da Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan, aprendo di fatto la possibilità non dico di dimostrare, ma quanto meno di calcolare gli zeri della zeta utilizzando la meccanica quantistica.
E in effetti utilizzando una trappola ionica (un dispositivo in grado di catturare delle particelle cariche, genericamente indicate come ioni) utilizzata nelle ricerche sull'informazione quantistica, un gruppo di ricercatori è riuscito a calcolare, o misurare i primi 80 zeri non banali della zeta di Riemann⁽³⁾. Al di là delle possibilità di calcolo (e di dimostrazione) dell'ipotesi di Riemann usando la meccanica quantistica, l'aspetto più interessante è l'interessante passo avanti nelle ricerche sulla computazione quantistica, anche se al momento il risultato è da paragonarsi con quello ottenuto nel 1914, a mano, da R. J. Backlund che ottenne i primi 79 zeri.

Altri articoli sulla congettura di Riemann

---

Alan Turing e la zeta di Riemann | La fisica di Riemann | Una costante per Riemann | L'ossessione dei numeri primi | L'ipotesi di Riemann

1. In effetti l'idea di Odlyzko potrebbe essere ispirata dal matematico polacco George Pólya. In una lettera del 1982 che quest'ultimo indirizzò proprio a Odlyzko, il polacco ricordava come Edmund Landau gli chiese una ragione fisica per cui l'ipotesi di Riemann dovesse essere vera. E qui Pólya suggerì qualcosa di simile agli operatori hermitiani, ovvero gli autovalori di un operatore auto-aggiunto. ↩
2. Odlyzko, A. M. (1987), On the distribution of spacings between zeros of the zeta function, Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890 ↩
3. He, R., Ai, M. Z., Cui, J. M., Huang, Y. F., Han, Y. J., Li, C. F., ... & Creffield, C. E. (2021). Riemann zeros from Floquet engineering a trapped-ion qubit. npj Quantum Information, 7(1), 1-6. doi:10.1038/s41534-021-00446-7 ↩