Breve storia del pi greco - parte 3

Calvin & Hobbes di Bill Watterson

Le tecniche di costruzione geometriche degli antichi greci erano dette "con riga e compasso". In questo modo è possibile costruire una gran quantità di poligoni regolari, per esempio, ma esistono tre problemi che risultano impossibili a meno di non utilizzare tecniche differenti: la trisecazione di un angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio.
In particolare per la quadratura, è semplice vedere come, detto $r$ il raggio del cerchio, il lato del quadrato con la stessa area sarà \[l = \sqrt{\pi} r\] Poiché il nostro amato pi greco è un numero trascendentale, la formula qui sopra è la più semplice rappresentazione dell'impossibilità della quadratura del cerchio utilizzando riga e compasso, con i quali è possibile trattare numeri razionali e irrazionali, come per esempio $\sqrt{2}$ (in questo caso basta semplicemente disegnare un quadrato di lato 1).
Utilizzando questi due strumenti è possibile ottenere una costruzione approssimata e, quindi, un corrispondente approssimato valore per il pi greco. In era moderna si contano approssimazioni di C.D. Olds (1963), Martin Gardner (1966), Benjamin Bold (1982), tutte alla fine variazioni sulla costruzione geometrica di Srinivasa Ramanujan del 1913 che approssimò pi greco con la frazione \[\frac{355}{113} = 3.1415929203539823008 \dots\] corretto fino alla sesta cifra decimale.
Sempre Ramanujan ottenne l'anno dopo un'approssimazione ancora più accurata (fino all'ottava cifra decimale), sempre utilizzando riga e compasso: \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525826461252 \dots\]

Se però al compasso e alla riga aggiungiamo anche un po' di meccanica riusciamo a ottenere una interessante quadratura del cerchio (con conseguente misura del pi greco!). Prendiamo una circonferenza di raggio $r$ e facciamola rotolare con velocità costante lungo una sua retta tangente. Il punto di tangenza $N$ descriverà una curva detta cicloide.
E' possibile, poi, costruire una seconda cicloide utilizzando la proiezione del punto $M$ (l'estremo del diametro perpendicolare al raggio cui appartiene $N$) sulla retta tangente. L'intersezione $B$ del diametro $NN'$ con questa seconda cicloide ci fornirà un segmento di lato $NB$ la cui lunghezza sarà pari a $\sqrt{\pi} r$, ovvero il lato del quadrato con area identica al cerchio di partenza. Dividendo, quindi, il segmento così costruito per il raggio del cerchio di partenza è possibile, alla fine determinare il valore del pi greco.
E come suggerito questa costruzione non è semplicemente geometrica, ma possiamo anche farla realmente, magari con un piccolo disco di ottone come suggerisce August Zielinski, il propositore del metodo di quadratura or ora sommariamente descritto.
Ovviamente in questo caso la precisione del valore di pi greco determinato dipende dalla precisione del metodo di misurazione.

Carnevale della Matematica #83

Benvenuti, come ogni 14 del mese, al Carnevale della Matematica. E ben trovati sulle pagine elettroniche di DropSea che per il 4.o anno consecutivo ospita il Carnevale nel pi day, il giorno in cui si festeggia il pi greco e la matematica tutta. Quest'anno, poi, la ricorrenza è persino epica, visto che si possono festeggiare fino a 9 cifre decimali, riuscendo a conteggiare anche i secondi (cosa impossibile al momento con blogger...). Ad ogni modo, nel corso di questa edizione, come già accaduto per i due precedenti pi day, potrete leggere le "notizie pi greche", ovvero dei piccoli box con curiosità e approfondimenti dedicati al numero famoso archimedeo. Invece nell'introduzione, come da tradizione, andrò ad approfondire alcune delle caratteristiche dell'83, 23° numero primo compreso tra il 79 e l'89.
Sul numero che contraddistingue questa edizione (che in base 8 si scrive 123 che, tra le altre cose, è il nome di uno degli avi degli attuali fogli di calcolo) c'è, però, poco da raccontare: il nostro è la somma di tre numeri primi consecutivi, $23 + 29 + 31$, nonché di 5 numeri primi consecutivi, $11 + 13 + 17 + 19 + 23$, ed è anche la somma dei primi tre numeri primi la cui ultima cifra è 1, $11 + 31 + 41$. Inoltre è la somma dei quadrati dei primi tre numeri dispari, $3^2 + 5^2 + 7^2$. Infine è il numero primo più grande (tra quelli noti) ad essere la somma di tre numeri triangolari distinti, $10 + 28 + 45$.
Se, poi, proviamo a mettere in file tutti i numeri primi, osserviamo che proprio con l'83 compare per la prima volta la cifra "8", completando l'elenco di tutte le cifre da 1 a 9.
E' anche un primo di Sophie Germain: ovvero un dato numero primo $p$ è detto primo di Sophie Germain se anche $2p +1$ è un numero primo, e infatti 167 è primo. 83 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero primo di Sophie Germain generato da un altro numero primo (che evidentemente è anch'esso di Sophie Germain), e infatti 83 è generato dal 41, che è primo.
83 è anche un numero primo di Chen, dove un numero primo $p$ è detto di Chen se $p+2$ è primo o se è un prodotto di numeri primi. Esempio: 83 è primo di Chen perché $85 = 83 + 2 = 5 \cdot 17$.
83 è poi un numero primo di Eisenstein con parte immaginaria nulla e parte reale della forma $3n - 1$. Anche in questo caso ricordo che un primo di Eisenstein è così definito: \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] Questo numero qui, però, per essere primo deve essere irriducibile, ma la sua irriducibilità è da intendersi nel senso della teoria degli anelli e può essere riassunta attraverso queste due semplici regole, che quando verificate fanno del numero un primo di Eisenstein:

1. $z$ è il prodotto tra un numero primo della forma $3n-1$ e una unità dell'anello;
2. $|z|^2 = a^2 − ab + b^2$ è un numero primo.

A causa della complessità di $\omega$, esistono anche primi di Eisenstein non reali.
Tra le sue proprietà più curiose c'è anche il fatto che $83^4 + 2$ è un numero primo, così come è primo anche $2^{83} - 83^2$.
Se poi provate a fare la somma delle cifre di 3999998999 (che è un numero primo!), otterrete un altro numero primo, l'83!
Il quadrato di 83, 6889, è un numero strobogrammatico, ovvero un numero che, ruotato di 180° è ancora uguale a se stesso. Tra l'altro 83 è il numero primo più piccolo ad avere questa singolare proprietà.
Infine 83 è il numero atomico del bismuto, che è l'elemento più pesante a non essere radioattivo.

Altre curiosità sull'83 su Prime Curios!