La trasformata di Abel

La trasformata di Abel, anche detta integrale di Abel, è una tecnica di trasformazione delle funzioni che fa uso degli integrali. Viene utilizzata in particolare nello studio delle funzioni a simmetria sferica.
Le sue principali applicazioni sono nell'analisi delle immagini: la trasformata di Abel, infatti, viene utilizzata per proiettare su un piano una funzione di emissione, ad esempio della luce di un oggetto, ricavando una forma geometrica generalmente simmetrica rispetto a un asse. Si può anche utilizzare la trasformata di Abel inversa per calcolare la funzione di emissione a partire dalla sua proiezione (ad esempio una scansione o una fotografia).
Trova applicazioni anche nella spettroscopia, in particolare nello studio degli spettri di assorbimento di sbuffi a simmetria cilindrica. In questo caso la trasformata di Abel fornisce la quantità di luce assorbita (assorbanza) lungo un dato raggio, mentre la trasformata inversa fornisce il coefficiente di assorbimento locale a una distanza $r$ dal centro.
La trasformata inversa di Abel, infine, ha assunto una fondamentale importanza nell'imaging a ioni e nell'imaging fotoelettrica.
Infine la trasformata di Abel, insieme con gli opportuni strumenti statistici, può essere utilizzata per lo studio dei cluster (gruppi) di galassie.

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Trasformata di Abel

\[F(y) = 2 \int_y^\infty \frac{f(r)r}{\sqrt{r^2 - y^2}} \,dr\]

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Castagna, F., & Andreon, S. (2019). PreProFit: Pressure Profile Fitter for galaxy clusters. Astronomy & Astrophysics, 632, A22. doi:10.1051/0004-6361/201936487 (arXiv, github)