Una battuta di caccia celeste

I cieli invernali sono dominati dalla costellazione di Orione, di cui ho già narrato la storia. Questi viene raffigurato nel cielo stellato nell'atto di scoccare una freccia contro la costellazione del Toro, posta a difesa delle Pleiadi. Orione, però, come ogni buon cacciatore, si accompagna da un bravo cane da caccia, forse due, come vedremo a breve. Infatti ai piedi del cacciatore sono poste tre costellazioni, il Cane Maggiore, il Cane Minore e la Lepre, che sembrerebbe la preda dei due cani, la cui storia, però, non è necessariamente legata a quella del mitico Orione.

I cani da caccia

La costellazione del Cane Minore era anticamente costituita da una sola stella, Procione, che in greco significa prima del cane, poiché sorge prima della costellazione del Cane Maggiore.
Solitamente identificato come uno dei cani da caccia di Orione, secondo il mitografo Igino la costellazione rappresenterebbe Mera, il cane di Icario, cui il dio Dioniso aveva insegnato a fare il vino. Questi fece assaggiare la nuova bevanda ad alcuni pastori, che si ubriacarono immediatamente: pensando, però, di essere stati avvelenati, uccisero Icario. Allora Mera, ululando, corse da Erigone, figlia del suo padrone, e la tirò per le vesti portandola fino al luogo dove giaceva morto il padre. Una volta giunti sul luogo, i due si suicidarono. A quel punto Zeus, per ricordare questi tragici fatti, decise di porre nel cielo i protagonisti della storia: Icario nella costellazione di Boote, Erigone in quella della Vergine e Mera in quella del Cane Minore. Inoltre, per riparare al tragico errore dei loro antenati, gli ateniesi istituirono una celebrazione annuale in onore di Icario ed Erigone.
Anche il Cane Maggiore viene associato con uno dei due cani da caccia di Orione: Arato di Soli, infatti, lo identifica con il preferito dei due, quello che lo sempre dappresso.
Secondo altri studiosi (Eratostene e sempre Igino), la costellazione in realtà rappresenta Lelapo, il più abile cane da caccia dell'antichità, talmente veloce che nessuna preda riusciva a sfuggirgli. Nel corso della sua mitologica vita Lelapo cambiò diversi padroni. In particolare la dea Artemide lo donò a Procri, moglie di Cefalo. Un giorno, mentre erano a caccia, Cefalo uccise accidentalmente la moglie grazie a un giavellotto che non manca mai il bersaglio. Così Lelapo rimase a Cefalo fino a che i due non incapparono nella Volpe di Teumesso, che non poteva mai essere catturata. Lelapo e la Volpe si inseguirono per tutto il bosco, dando vita a un paradosso irrisolvibile cui pose fine Zeus ponendo Lelapo e, forse, la Volpe nel cielo rispettivamente come Cane Maggiore e Cane Minore. Secondo altre versioni Zeus pose in cielo il solo Lelapo, per evitare l'inseguimento eterno.

La matematica (e fisica) caccia di Lelapo alla Volpe

I due protagonisti del mito di Lelapo e della Volpe di Teumesso sembrano quasi i due protagonisti di Red e Toby, il film d'animazione disneyano del 1981 diretto da Art Stevens, Ted Berman e Richard Rich tratto da The fox and the hound, romanzo di Daniel P. Mannix. Sarebbe bello scoprire che Mannix si fece ispirare da questo stesso mito, ma purtroppo non è così. C'è, però, da notare che nella storia di Lelapo sono presenti alcuni "assoluti" tipici della mitologia: il giavellotto che non manca mai il bersaglio, il cane da caccia che prende sempre la sua preda, la volpe che non può essere mai catturata. Se con il giavellotto ci si potrebbe chiedere come mai sia riuscito a uccidere la moglie di Cefalo, a meno di non considerarla il bersaglio designato, più interessante il confronto tra Lelapo e la Volpe.
Ovviamente, così come il famoso paradosso di Zenone della freccia, o quello di Achille e della tartaruga, anche il confronto tra Lelapo e la Volpe può essere visto in termini matematici, come una serie che converge per Lelapo e una serie che diverge per la Volpe. Prima di tutto, per chi non fosse proprio avvezzo ai termini, specifichiamo cosa è una serie e cosa vuol dire serie convergente e serie divergente.
Una serie è una successione di numeri legati uno con l'altro da una regola matematica. Ad esempio prendiamo la così detta serie geometrica. Questa è la somma di potenze di un dato numero $x$: \[\sum_{k=0}^\infty x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\] Questa serie è anche molto utile per fornire rapidamente esempi di serie divergenti e convergenti: il suo comportamento, infatti, cambia in funzione del valore di $x$. In particolare quando $x$ è maggiore o uguale a 1, la serie diverge, ovvero la somma va a infinito (il numero che si ottiene è sempre più grande man mano che si avanza a sommare le potenze di $x$. Quando invece $x$ è compreso tra 1 e -1, allora la serie converge, ovvero la somma si avvicina sempre di più a un numero reale $s$ man mano che sommiamo le potenze di $x$. Nel caso di $x$ minore di -1 la serie è indeterminata, poiché il suo valore oscilla tra 1 e 0, mentre più dibattuto è il caso di $x$ uguale a -1 che non prenderò in considerazione.
A questo punto chiediamoci: cosa succede quando mettiamo insieme due serie, una convergente e una divergente? Dipende dalle serie e dall'operazione che andiamo a fare con esse. Se le sommiamo appare ragionevole aspettarsi che la serie risultante diverga, ma se l'operazione è un prodotto o una divisione, allora la forma delle due serie risulta determinante per la natura finale della serie risultante.
Proviamo, però, a vedere l'inseguimento dal punto di vista della fisica (proprio come si farebbe con Achille e la tartaruga). La velocità di Lelapo $v_l$ sarà sempre maggiore della velocità della sua preda $v_p$ di una quantità positiva $\varepsilon$, piccola o grande che sia: \[v_l = v_p + \varepsilon\] Stessa cosa per la velocità della volpe $v_v$: \[v_v = v_c + \varepsilon\] Vediamo cosa succede alla velocità relativa tra Lelapo e la Volpe: \[v_{lv} = v_l - v_v = v_v + \varepsilon - v_v = \varepsilon\] D'altra parte \[v_{lv} = v_l - v_v = v_l - (v_l + \varepsilon) = -\varepsilon\] Le due velocità relative, però, devono essere uguali e l'unica possibilità è che $\varepsilon = 0$ che implica inseguimento infinito.

Storia di una lepre

Torniamo, però, alle nostre costellazioni: cosa ci sta a fare la Lepre nel cielo se il mito di Lelapo prevederebbe la presenza di una volpe?
Secondo alcune interpretazioni, Orione sta schiacciando la Lepre braccata dai suoi cani. La Lepre, però, è, come il Toro, un simbolo lunare, mentre Orione è un simbolo solare: questo implicherebbe che la scena cristallizzata nel cielo altro non sia che un'allegorico trionfo del Sole sulla Luna.
Chiudo con una curiosità: secondo il solito Igino la Lepre sarebbe collegata con la leggenda della lepre dell'isola di Leros. Un giorno un giovane portò sull'isola una lepre incinta. Dopo di ciò tutti gli abitanti dell'isola vollero una lepre per se, così Leros si ritrovò ben presto invasa da questi prolifici animali, certo simpatici ma particolarmente deleteri per i raccolti. Solo dopo un lungo periodo e vari tentativi andati a vuoto gli abitanti di Leros riuscirono a scacciare le lepri dalla loro splendida isola.