Dimostrazioni senza parole: doppia serie geometrica

Commentando la dimostrazione sulla somma di una serie infinita il buon Popinga chiede:

Voglio anche quello delle due birre ordinate da un'infinità di matematici!

E gisto quel giorno stesso mi manda (via twitter) il suggerimento, via Wolfram Alpha , sulla così detta doppia serie geometrica: \[\sum_{j=1}^\infty \frac{j}{2^{j+1}}\] ovvero come far ubriacare un numero infinito di matematici con una birra (ovviamente per due birre basta raddoppiare)!
La dimostrazione, qui sotto, è di Patrick Honner

I rompicapi di Alice: Il dilemma della mosca e dei due treni

Attenzione! Il rompicapo proposto quest'oggi è ad alto tasso matematico. Ci sono molti conti, che di per sé non sono difficili da seguire. Osservando le immagini (e la gif animata) la comprensione del procedimento descritto non dovrebbe essere troppo difficile.

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La settimana scorsa il sempre brillante Bruno ha proposto alle prime il famoso rompicapo di una mosca che vola tra due treni che stanno correndo allegramente uno contro l'altro verso un disastro ferroviario. L'enunciato del problema è presto detto:

Due treni sullo stesso tracciato sono distanti 100 km e procedono uno contro l'altro alla velocità costante di 50 km/h. Una mosca, partendo dal muso di uno dei treni, vola verso l'altro alla velocità di 75 km/h. Una volta raggiunto l'altro treno, la mosca si volta e continua verso il primo treno. Quanti chilometri percorre la mosca prima di restare schiacciata nella collisione dei due treni?⁽¹⁾

E' possibile trovare il rompicapo con velocità e spazi differenti, ma essenzialmente questo è il suo enunciato e, ovviamente, può essere risolto utilizzando il calcolo simbolico: $v_T$ sarà la velocità dei treni, $v_M$ la velocità della mosca, $S_0$ la distanza iniziale tra i treni. E come spesso succede lo si può affrontare utilizzando diversi approcci.
Innanzitutto, poiché i due treni viaggiano alla stessa velocità, essi si scontreranno perfettamente a metà del percorso che li separa. Il tempo della collisione sarà dunque⁽²⁾: \[t_T = \frac{S_0}{2 v_T}\] La mosca, allora, percorrerà in linea retta tra i due treni una serie di tratti, avanti e indietro, coprendo una distanza totale di \[S_M = \frac{S_0}{2 v_T} v_M\] Un approccio interessante, proposto da Bruno in classe, è però quello grafico, che prevede di utilizzare il diagramma $t$-$S$, con $t$, tempo, sull'asse delle ascisse (quello orizzontale), $S$, spazio, su quello delle ordinate (quello verticale). Il risultato è quello che segue, dove le due rette nere sono i treni, il loro punto di intersezione l'istante della collisione e il segmento in rosso rappresenta la mosca. Il punto dove questo si interrompe coincide, proiettato sull'asse $S$, con lo spazio percorso dalla mosca, quello calcolato in precedenza: