Rompicapi di Alice: Palindromi primi

Un palindromo è un numero che, quale sia il suo verso di lettura, non cambia. Qualcosa tipo 181, 191, 313, eccetera...
Non ho preso questi numeri a caso, ma li ho estratti dalla lista dei palindromi primi, ovvero quei palindromi che sono anche numeri primi. Il più piccolo numero primo palindromo, escludendo i primi costituiti da un'unica cifra, è 11, che è anche l'unico palindromo con cifre pari a essere primo. Tutti i palindromi di questo genere, infatti, sono multipli proprio di 11.
L'11, però, è anche il primo numero primo appartenente a una lista piuttosto particolare, quella dei repunit, ovvero i numeri costituiti solo ed eslusivamente da 1 ripetuti, che sono anche primi.
Esiste una formula che, data la base \(b\) e il numero di cifre \(n\) permette di determinare i repunit:

Matematica, lezione 25: La teoria dei numeri

Ciò che di solito si vede a scuola o nei testi di matematica ricreativa legati alla teoria dei numeri è solo la punta dell'iceberg della potenza di questa branca della matematica. E anche quando si affrontano argomenti di teoria dei numeri piuttosto avanzati, come il problema della distribuzione dei numeri primi legato alla congettura di Riemann, o la risoluzione dell'ultimo teorema di Fermat, di fatto ciò che spesso si mostra è una versione "addomesticata" in modo tale da far comprendere quanto meno la complessità del problema. Anche di fronte a una formulazione tutto sommato immediata da comprendere come, appunto, quella dell'ultimo teorema. In quest'ottica il 25.mo volume della collana Matematica, La teoria dei numeri di Francesco Zerman, è un ottimo strumento per comprendere, già con un primo livello, la profondità e l'estensione di questa branca della matematica: la dimostrazione dei suoi teoremi, infatti, ha spesso aperto la via a nuove branche della matematica, come per esempio la questione delle soluzioni delle equazioni dal 5.o grado in su, o ha avuto bisogno di tecniche sviluppate in altre branche per ottenere delle dimostrazioni formali.
L'altro aspetto decisamente interessante del volume è quello che mostra come molti degli avanzamenti in questa branca della matematica sono avvenuti grazie alle così dette equazioni diofantee, particolari equazioni in cui si chiede che la soluzione ricada nel campo dei numeri interi o, al più, razionali. Senza dimenticare, poi, come anche i numeri complessi siano un altro campo di interesse di questa che è forse la branca "principe" della matematica.

I paralipomeni di Alice: L'orologio di Kruskal

Nel Rompicapo di Alice dedicato al Kruskal Count, gioco ideato da Martin Kruskal, avevo dedicato l'introduzione a una sua variazione, che potremmo chiamare come Kruskal Clock. Lo ripeto qui per completezza:
Prendiamo il quadrante di un orologio a lancette. Sono segnati dodici numeri, da 1 a 12. Scegliamone uno. Quindi, a partire da quello, ci spostiamo di tante posizioni quante sono le lettere della parola corrispondente a quel numero. Una volta giunti a destinazione ripetiamo l'operazione. E facciamo altrettanto la terza volta.
Se utilizziamo i nomi inglesi dei numeri, le catene giungono tutte sullo stesso numero esattamente dopo tre passaggi, ed è l'1!

Ritratti: Carl Ludwig Siegel

Carl Ludwig Siegel a Gottinga nel 1975

Figlio di un postino, Carl Ludwig Siegel sognava di diventare un astronomo. Nato l'ultimo giorno dell'anno di grazia 1896 a Berlino, nel pieno della prima guerra mondiale, il 1915, si iscrive alla Humboldt Universität, la più antica delle quattro università della sua città natale. Qui segue i corsi di Ferdinand Georg Frobenius e di Max Planck, a proposito dei quali scrive⁽²⁾:

Conducendo personalmente [le lezioni di eservitazione], i professori potevano vedere, dopo solo poche lezioni, quali degli studenti erano maggiormente dotati nei lavori che consegnavano loro, e i professori potevano dirigere il loro lavoro di conseguenza. Questo è il modo con cui io stesso sono entrato in contatto con i miei insegnanti Frobenius e Planck.

Fu proprio Frobenius a indirizzarlo verso lo studio della teoria dei numeri, che sarebbe diventato il suo campo di ricerca principale nel corso della sua carriera accademica.
Ad ogni modo la sua strada venne bruscamente interrotta dalla chiamata alle armi: era il 1917 e l'esercito tedesco provò in tutti i modi a renderlo un bravo soldato, ma Siegel non amava quella vita, così alla fine venne congedato come uno dei più grandi fallimenti del potente esercito germanico. Ovviamente per Siegel questo fu un piccolo successo!

Le grandi domande della vita: Il senso numerico della vita

Una puntata che potrebbe agevolmente essere confusa con un articolo della serie dei Rompicapi di Alice. La matematica, infatti, la fa da padrone con un classico rompicapo che gira un po' sul web, ma che permette di vedere un concetto legato alle serie e, soprattutto, una recente novità matematica. Ma bando alle ciance e immergiamoci nei numeri.

La risposta fondamentale

Come tutti i lettori della saga della Guida galattica per autostoppisti sanno, la risposta alla domanda fondamentale, che è andata perduta con la distruzione della Terra, è 42. La scelta del numero da parte di Douglas Adams è stata abbastanza casuale, se si esclude il semplice fatto che il numero piaceva allo scrittore. Eppure il 42 è stato protagonista di una recente news legata a uno dei problemi aperti della matematica:

Esiste un numero che non è 4 o 5 modulo 9 e che non può essere espresso come una somma di tre cubi?

Per trovare una risposta a tale domanda, sono stati utilizzati soprattutto dei metodi numerici. In particolare Andreas-Stephan Elsenhans e Jorg Jahnel⁽²⁾, utilizzando un metodo che, semplificando, utilizza un particolare spazio vettoriale⁽¹⁾, hanno cercato le soluzioni dell'equazione diofantea

Le grandi domande della vita: La Luna, Marte e i triangoli

Con la fine di agosto, sta rispuntando in giro una vecchia bufala, che era già assurta agli onori della cronaca nel 2016 ma che sembra sia in circolazione addirittura dal 2002: ovvero che nel mese di agosto è possibile vedere Marte con le stesse dimensioni apparenti della Luna, se non più grandi. Il problema è che ciò non è mai possibile. Vediamo perché.

Il diametro angolare

In astronomia esiste un numero particolare che misura le dimensioni apparenti di un oggetto nel cielo: il diametro angolare. Questo non è altro che un angolo, $\delta$, matematicamente definito dalla relazione \[\delta = 2 \arctan \frac{2}{2D}\] dove $d$ è il diametro dell'oggetto, $D$ la sua distanza dall'osservatore.
Se andiamo a vedere la tabella dei diametri orbitali, ci rendiamo conto che il diametro della Luna varia dai 1796 arcosecondi ai 2009 arcosecondi, mentre quello di Marte dai 3.5 arcosecondi ai 25.7 arcosecondi, quindi ben lontano dal $\delta$ della Luna.
A questo punto ci possiamo chiedere quanto dovrebbe essere distante Marte dalla Terra per apparire grande quanto la Luna. Prima di tutto invertiamo la formula di cui sopra: \[D = \frac{d}{2 \tan \frac{\delta}{2}}\] Sostituendo a $d$ il diametro di Marte e a $\delta$ il diametro angolare maggiore della Luna, opportunamente trasformato in gradi⁽¹⁾, si ottiene per la distanza Terra-Marte un valore di quasi 709000 chilometri, cioé quasi il doppio della distanza Terra-Luna e quasi 320 volte più piccolo della distanza reale tra il nostro pianeta e il pianeta rosso.

Ritratti: Andrew Wiles

Andrew Wiles

La biografia di Andrew John Wiles è obiettivamente piuttosto scarna: nato l'11 aprile del 1953 a Cambridge, in Gran Bretagna, dal professore di teologia (nonché cappellano) Maurice Frank Wiles e da Patricia Mowll, ha passato praticamente tutta la sua carriera di matematico a perfezionare un'unica dimostrazione, quella del famoso ultimo teorema di Fermat.
La fascinazione verso questo apparentemente semplice teorema arrivò sin dalla gioventù, da quando aveva dieci anni, per la precisione. Wiles rimase folgorato dalla semplicità dell'enunciato e dalla difficoltà nella sua dimostrazione, considerando che l'avvocato Pierre de Fermat enunciò il teorema (e la sua presunta dimostrazione) nel lontano 1637:

È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

o in termini matematici

L'equazione \[x^n + y^n = z^n\] non ha alcuna soluzione a parte quella banale nei numeri interi per $n$ maggiore di 2.

Da alcune semplici considerazioni, il giovane Andrew prese, però, la triste decisione di abbandonare il suo donchisciottesco proposito: non possedeva i necessari strumenti per affrontare il problema.
Almeno fino a che non iniziò a lavorare nel campo. Aveva ottenuto la laurea in matematica presso il Merton College a Oxford nel 1974 e il dottorato nel 1980 proprio a Cambridge, presso il Clare College, con John Coates come supervisore. Da qui in poi iniziò il classico percorso da vagabondo della ricerca che lo portò prima a Bonn, poi a Harvard e quindi a Parigi. E si trovava proprio nella capitale francese quando il problema di Fermat lo catturò nuovamente con tutta la sua forza.

I rompicapi di Alice: Contare i granelli di sabbia

Morte di Archimede di Francesco Bonvi

Nessuno potrà mai cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi

Così commentava David Hilbert la scoperta dei numeri transfiniti e la formalizzazione della teoria degli insiemi frutto del lavoro immane di Georg Cantor.
La definizione di paradiso non è nemmeno così casuale se pensiamo che con le sue scoperte Cantor permise alla matematica di avvicinarsi e contare veramente gli infiniti, che erano tradizionalmente riservati alle divinità o a coloro che erano in grado di intercedere tra il divino e l’umano, come ad esempio gli oracoli dell’Antica Grecia.
Ad esempio la Pizia risponde ai messaggeri di Creso giunti a lei per conoscere la durata delle sue sventure con queste parole⁽¹⁾:

Io conosco il numero dei grani di sabbia

D’altra parte il Siracide si apre così:

La sabbia del mare, le gocce della pioggia e i giorni del mondo chi potrà contarli? L’altezza del cielo, l’estensione della terra, la profondità dell’abisso chi potrà esplorarle?
(…)
A chi fu rivelata la radice della sapienza? Chi conosce i suoi disegni? Uno solo è sapiente, molto terribile, seduto sopra il trono.⁽²⁾

Possiamo considerare queste delle vere e proprie parole di sfida per l’uomo di ingegno, in particolare quando quest’uomo si chiama Archimede. Il grande matematico e fisico dell’antichità, infatti, apre l’Arenarius così⁽¹⁾:

[Vi sono] alcuni, o re Gelone, [che] stimano il numero [dei grani] d’arena essere indeterminabile nel numero, [e] non mi riferisco [già] soltanto a [quei grani d’arena che stanno] attorno a Siracusa o nel resto della Sicilia, ma anche a quelli [diffusi] per ogni parte della Terra, abitata o inabitata che questa sia. Vi sono poi altri che, pur non considerando questo numero infinito, credono tuttavia [che sia] impossibile definire un numero [che esprima una] grandezza tale da superare [quella] quantità.
(...)
Con dimostrazioni geometriche che potrai logicamente seguire e [servendomi] dei numeri definiti ed esposti negli scritti [inviati] a Zeuxippo, io proverò a mostrarti che alcuni [numeri] non solo superano il numero [dei grani] d’arena per un volume [supposto] eguale quello della Terra [e di questi] riempita come appunto s’è detto, ma anche di quelli per un volume eguale all’[intero] cosmo.

E’ evidente come la sfida di Archimede non sembri dissimile da quella che affrontò quasi due milleni dopo Cantor. Prima, però, di approfondire i ragionamenti di Archimede facciamo un passo indietro verso il modello cosmologico pitagorico.

Le grandi domande della vita: Heisenberg

Dopo una lunga attesa ritornano Le grandi domande della vita. In questa puntata la parte del leone la fa il principio di indeterminazione di Heisenberg. Non mancherà la teoria dei numeri e un paio di curiosità che spero possano interessarvi!

Indeterminazione

da I trent'anni che sconvolsero la fisica di George Gamow

La domanda sulla correttezza o meno del principio di indeterminazione di Heisenberg per i fisici risulta assurda: il principio di indeterminazione è corretto. Ed è anche uno degli elementi fondamentali della meccanica quantistica: l'algebra dei commutatori, infatti, implica l'esistenza di principi di indeterminazione per ogni coppia di operatori che non commutano.
In questo caso gli operatori sono gli oggetti matematici utilizzati per rappresentare le grandezze fisiche. A differenza dei numeri usuali, per gli operatori la proprietà di commutazione, ovvero $a \cdot b = b \cdot a$, non vale in generale. Quindi quando due operatori non commutano, è possibile scrivere un principio di indeterminazione, che dal punto di vista della fisica implica che esiste un limite nella precisione con cui si possono eseguire misure contemporanee delle due grandezze.
Nel caso del principio di indeterminazione classico introdotto nel 1927 da Werner Heisenberg⁽¹⁾ questo implica che se vogliamo misurare la posizione di una data particella con la stessa precisione con cui misuriamo la quantità di moto, le due misure devono avvenire in momenti differenti.
In realtà questo fatto non dovrebbe essere nemmeno così stupefacente: le due grandezze sono correlate e l'errore sulla posizione può essere ricavato a partire dall'errore sulla quantità di moto e viceversa; d’altra parte è molto più semplice, classicamente parlando, una misura diretta della posizione rispetto a una della quantità di moto, che è una grandezza derivata della prima⁽²⁾. Quindi l'errore sulla posizione influenza quello sulla quantità di moto.

Le grandi domande della vita: Il capello di Hilbert

David Hilbert secondo Tuono Petinato

Matematica protagonista per questa nuova puntata della serie più pretenziosa del web! Si inizia con la matematica delle equaioni diofantee, in particolare sulle differenze tra due problemi, uno particolarmente noto e uno meno, ma entrambi, oggi, risolti (o qualcosa del genere!):

Le differenze tra il 10.mo problema di Hilbert e il teorema di Fermat

Ovviamente per teorema di Fermat si intende quello, ormai venutovi a noia, scritto sui margini di un foglio del volume di Diofanto dall'ineffabile Pierre de Fermat. Il teorema, ripetendolo alla noia, afferma che non esiste alcuna soluzione dell'equazione diofantea: \[a^n + b^n = c^n\] per $n$ più grandi di 2.
Quando Hilbert propose la sua lista di 23 problemi nel grande congresso di matematici tenutosi a Parigi nel 1900, il decimo problema recitava, più o meno, così:

Data un'equazione diofantea con un numero ignoto di quantità e con coeffienti numerici razionali: ideare un procedimento secondo cui è possibile determinare in un numero finito di operazioni se l'equazione è risolubile negli interi razionali.

I Rompicapi di Alice: Le partizioni cicliche del Cappellaio Matto

Il party del Cappellaio Matto, variazione umoristica sui tea party vittoriani, è una delle scene più divertenti in Alice nel Paese delle Meraviglie, ed è anche un interessante concentrato di matematica, ora interpretabile come un letterale riferimento al tempo, ora come un riferimento alla matematica dei quaternioni.
I partecipanti alla festicciola, però, ovvero il Cappellaio, insieme con la Lepre Marzolina, il Ghiro e Alice, cambiano ogni tanto il loro posto intorno alla tavola circolare su cui sono poste le tazze.
Una possibile variazione sul testo carrolliano che il Cappellaio sembra abbia proposto ad Alice, nota appassionata di giochi matematici, è la seguente:

Partiamo con tante tazze quante sono le persone. Le tazze vengono sistemate in cerchio e ogni persona siede all'interno della propria tazza.
Alla fine del primo giro, si alzano tutti, una delle tazze viene rimossa, quindi tutti si siedono in un nuovo posto. Ogni tazza deve essere occupata da almeno una persona, così al secondo giro ci sarà una tazza con due persone all'interno. Dopo questo giro un'altra tazza scompare e alla fine, quando c'è giusto una tazza, nessuno sarà solo!⁽¹⁾

Ovviamente il gioco del Cappellaio riesce meglio se si utilizzano le tazze giganti di una giostra, a meno di non utilizzare i biscotti cambia dimensioni. Ad ogni modo, Alice, alla fine della descrizione del gioco, si chiede:

I rompicapi di Alice: I problemi della teoria dei numeri

ispirato da @Popinga1 @DarioBressanini @maddmaths et al!

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La teoria dei numeri è piuttosto problematica. Forse è il caso di chiedere un colloquio con i genitori.

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Uno degli ultimi problemi matematici virali, il compleanno di Ceryl, è, in effetti, un problema di logica, ma, come spero i lettori sappiano, è solo uno dei molti che sono giunti all'attenzione del pubblico. La storia della matematica ricreativa è infatti piena di molti di questi problemi e in apertura vorrei segnalarvi quello dei tre marinai (che magari potrebbe diventare - o ritornare a essere - anch'esso virale!):

Il problema dei tre marinai

Tre marinai naufragano su un'isola deserta dove l'unica fonte di cibo sono gli alberi di cocco. I tre decidono, allora, di raccoglierne una gran quantità. Alla fine della giornata, però, sono troppo stanchi per dividerle in tre parti uguali, così rimandano il problema al giorno dopo e vanno a dormire. Durante la notte uno dei marinai si sveglia e, non fidandosi dei suoi compagni, decide di prendersi quanto gli spetta dal mucchio di noci di cocco senza attendere il mattino successivo. Si mette così a contare le noci di cocco raccolte e osserva che, tolta una noce dal mucchio, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. A questo punto seppellisce la sua parte e lascia il resto del mucchio intatto, quindi ritorna a dormire. Più tardi il secondo marinaio si sveglia e, anche lui non fidandosi dei suoi compagni, decide di prendere in anticipo la sua parte. Avvicinatosi al mucchio, scopre che, tolta una noce di cocco, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. A questo punto seppellisce il suo terzo di noci di cocco e torna a dormire. Ancora più tardi è il terzo marinaio a svegliarsi, sempre con la stessa idea di anticipare la divisione delle noci: anche quest'ultimo, avvicinatosi al mucchio, osserva che, tolta una noce, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. Così anch'egli si prende il suo buon terzo, lo seppellisce e va a dormire.
A questo punto la domanda è: quale è il numero minimo di noci di cocco che i tre devono aver raccolto affinché la storia proceda come raccontato senza alcun intoppo?