Matematica, lezione 56: La teoria di Galois

Nel 52.mo volume della collana Matematica, avevo citato velocemente i risultati ottenuti da Evariste Galois nella sua trattazione matematica sulle equazioni dal quinto grado in su. In particolare il risultato più importante ottenuto dal giovane talento matematico era che in generale un'equazione polinomiale dal 5.o grado in su non è risolubile con le usuali operazioni di somma, moltiplicazione ed estrazione di radice (il fatto che sia "in generale" implica che esistono alcune equazioni particolari risolubili in questo modo). Tale risultato, che può essere formalizzato con un teorema matematico, è la conclusione del volume 56, Teoria di Galois, di Francesco Zerman, che affronta in termini moderni la teoria sviluppata dal giovane rivoluzionario francese.
L'approccio di Zerman è quanto di meglio ci si possa attendere: inizia costruendo e consolidando tutti gli strumenti necessari per comprendere la dimostrazione finale, che così diventa lunga appena mezza paginetta, ma risulta ricca di significati, soprattutto per ciò che nel frattempo ha costituito il bagaglio di tale dimostrazione. E' fuor di dubbio che, proprio come il 52.mo volume, anche questo non è di semplice lettura, ma devo dire che mi sono decisamente trovato un po' a casa tra le sue pagine, ed è diventato abbastanza facilmente uno dei miei preferiti della collana, anche in forza della pagina dei giochi.
Zerman, infatti, decide di affrontare il tema dell'infinito, proponendo al lettore sei paradossi, alcuni ben noti a tutti gli amanti della matematica divulgativa e ricreativa, altri un po' meno, ma comunque tutti stimolanti e molto ben spiegati nella pagina delle soluzioni. Tra l'altro uno dei paradossi proposti da Zerman si ricollega con la figura che viene raccontata da Veronica Giuffré nella sezione biografica: Evangelista Torricelli. La scelta, tra l'altro, completa il ponte con il 52.mo volume, poiché Torricelli è indubbiamente uno dei più noti e talentuosi allievi di Galileo Galilei. Per cui se avete preso anche solo il n.52, non potete non recuperare anche il 56!

Matematica, lezione 15: Catastrofi e caos

A dispetto del titolo, che suggerisce la presenza anche della teoria delle catastrofi, il volume di Luigi Amedeo Bianchi è di fatto centrato quasi esclusivamente sulla teoria del caso, lasciando un piccolo accenno alla teoria delle catastrofi (a ta proposito vi rimando a un articolo che scrissi quasi dieci anni fa). Una parte, in effetti poco nota, della teoria del caos, ovvero la parte relativa alle biforcazioni, è essa stessa introduzione alla teoria delle catastrofi per cui solo ciò giustifica in parte il titolo del volumetto.
Ad ogni modo il libro, per quanto ostico, non utilizza concetti completamente nuovi al lettore della collana, e in ogni caso Bianchi si prende lo spazio per introdurre quei concetti un po' più avanzati necessari alla comprensione del testo insieme con quelli più "basilari" come per esempio potenze, polinomi, derivate che erano stati già affrontati in altri volumi. La definizione più importante e corposa, però, è quella di modello matematico, in particolare quello relativo ai sistemi dinamici, ovvero sistemi che, nella realtà di tutti i giorni, evolvono col passare del tempo.
Devo dire che il testo si è lasciato seguire abbastanza agevolmente, fornendo alla fine una versione più approfondita, ma anche molto chiara, della teoria del caos rispetto a quella divulgativa necessariamente più sintetica.
A completare il tutto i soliti giochi matematici di Maurizio Codogno, questa volta dedicati al concetto della media, e, soprattutto, una delle biografie per me più attese, quella di Evariste Galois: Sara Zucchini è riuscita splendidamente a rendere omaggio al matematico romantico per eccellenza.

Ritratti: Évariste Galois

La figura di Evariste Galois mi ha colpito sin da quando ho conosciuto le circostanze della sua morte. A raccontarle fu il professore che, durante il dottorato, tenne il corso sulla teoria dei gruppi: non saprei dire se fu più il corso o più la figura di Galois a spingermi poi verso la teoria dei gruppi applicata alla fisica, fatto sta che oggi, oltre a celebrare il 200.mo anniversario della nascita del giovane matematico francese, in un certo senso rendo l'ennesimo omaggio a una disciplina che potrebbe realmente avere in se i semi per uno sviluppo decisivo non solo della matematica, ma anche della fisica.
La leggenda narra che Galois scrisse il lavoro che poi avrebbe posto le basi della teoria dei gruppi in una notte, quella precedente al duello mortale che lo avrebbe visto sconfitto, e che sembra essere stato causato da una donna. Al di là dei risvolti gialli della vicenda finale, l'episodio evidenzia gli aspetti focosi e romantici del carattere di Evariste.
La Parigi del XIX secolo era una città molto più piccola rispetto a quello che è oggi e Bourg-la-Reine, oggi un quartiere della capitale francese, al tempo era un comune a se, distante una decina di chilometri dalla città. Qui vivevano i genitori di Evariste, Nicolas-Gabriel Galois, un repubblicano che sarebbe successivamente diventato sindaco del borgo, e Adélaïde-Marie Demante, due persone colte e intelligenti che ospitavano nella casa della famiglia Galois una scuola. I primi anni di studio, infatti, il piccolo Evariste li ricevette dalla sua stessa famiglia: i genitori lo istruirono nelle materie all'epoca ritenute più importanti (lettere classiche, religione, filosofia). I primi contatti con la matematica sarebbero arrivati solo più tardi, e solo dopo l'iscrizione, nel 1823, presso il liceo Louis-le-Grand.

Il Louis-le-Grand, foto da Genius, stupidity and genius again di Tope Omitola

Il suo rendimento scolastico sembra sia stato ottimo fin dall'inizio, ma iniziò ad avere problemi tra il 1825 e il 1826, forse a causa di una noia di fondo che trovava nelle materie insegnate. Ad ogni modo venne consigliato al padre di far ripetere a Evariste l'anno, perché non era considerato abbastanza maturo per affrontare l'ultimo anno del suo corso di studi (tutta colpa della retorica⁽¹⁾): fu così che nel 1827 si ritrovò a seguire il corso di matematica tenuto da tale M. Vernier. Questo suo primo insegnante di matematica scrisse di lui:

E' la passione per la matematica a dominarlo, penso che sarebbe meglio per lui se i suoi genitori lo obbligassero a studiare qualsiasi altra cosa, sta sprecando il suo tempo qui e non fa altro che tormentare i suoi insegnanti e ricoprirsi di punizioni.⁽²⁾

e successivamente

Intelligenza, notevole progresso ma non c'è abbastanza metodo.⁽³⁾

Questi giudizi, però, non gli impedirono di provare, una prima volta nel 1828, ad entrare al Politecnico di Parigi. Questo primo tentativo, come il successivo del resto, si concluse con un insuccesso. Tornato, così, a al Louis-le-Grand, si ritrovò nella classe di matematica di Louis Richard, probabilmente l'unico insegnante che ne comprese veramente le potenzialità. Scrisse, infatti:

Questo studente lavora solo nei più alti reami della matematica.⁽¹⁾

Probabilmente è grazie a Richard⁽¹⁾ che si avvicina ai lavori di Legendre (Éléments de Géométrie) e Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrique des équations), anche se secondo altri fu durante il primo corso con Vernier⁽⁴⁾, mentre altri ancora indicano addirittura il periodo tra il 1825 e il 1826⁽⁵⁾, quasi a volerne sottolineare anche la forza da autodidatta.

(da exit)