31.mo numero primo dopo il 113 e prima del 131, il 127 è un numero primo di Mersenne, come il 107, un numero primo isolato, poiché né 125 = 127 - 2 né 129 = 127 + 2 sono numeri primi, e un numero primo cubano. No, questo genere di numeri non è stato scoperto né da un matematico cubano, né è stato visto scorrazzare sulle spiaggie di Cuba, ma nella sua espressione gioca un ruolo fondamentale il cubo.
In effetti si distinguono due tipi differenti di primi cubani, quelli della prima forma, ricavabili dalla seguente espressione: \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+1\] ovvero della forma \[3y^2+3y+1\] e quelli della seconda forma \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+2\] ovvero della forma \[3y^2+6y+4\] con $y$ numero intero positivo. In particolare il 127 è un primo cubano della prima forma: per generarlo basta mettere 6 al posto di $y$. In realtà non tutti i numeri di questa forma sono anche primi. Ad esempio per $y$ pari a 5 si ottiene 91, che è solo dispari, e per $y$ pari a 7 ecco 169 come risultato, neanch'esso primo. Sempre restando nel "dominio" dei numeri primi, il 127 è anche la somma dei primi 9 numeri primi dispari.
Il 127 è anche un numero esagonale centrato, ovvero uno di quei numeri che può essere rappresentato con la forma di un esagono e assume l'espressione matematica \[1 + 3n (n-1)\] che sviluppandola diventa \[3n^2 -3n +1\] che non è molto differente dalla prima forma dei numeri cubani. E infatti i numeri esagonali che si ottengono con $n$ intero positivo sono gli stessi numeri cubani della prima forma, numero 1 a parte che è "solo" esagonale (è cubano, ma non primo cubano, per $y = 0$).
Tornando un attimo ai numeri primi di Mersenne, ovvero numeri della forma $2^n-1$, si scopre agilmente che 127 è il più piccolo primo di Mersenne triplo. Il motivo è che $127 = 2^7-1$ e $7=2^3-1$, con $3=2^2-1$ il più piccolo numero di Mersenne e $7$ il più piccolo numero di mersenne doppio.
Il 127 è anche un numero di Motzkin, il settimo per la precisione. Questi numeri curiosi vennero scoperti da Theodore Motzkin in ambito geometrico.
Li spiego con un esempio: supponiamo di mettere su una circonferenza 4 punti. A questo punto ci possiamo chiedere in quanti modi possiamo collegare i punti con delle corde che non si intersecano. La risposta è 9, che è anche il quinto numero di Motzkin. Ovviamente ogni numero di questo genere risponde proprio alla domana su quanti modi esistono per collegare $n$ punti su una circonferenza con corde non intersecantesi.
E' anche un numero di Friedman in ben due basi differenti. In base 10: \[120 = -1+2^7\] e in base 2: \[1111111 = (1 + 1)^{111} - 1 \cdot 1\] dove ovviamente 1111111 è la rappresentazione binaria di 127.
Come il 117 è un numero congruente e nontotiente e come il 37 è anche fortunato. Inoltre fa parte della terna pitagorica (127, 8064, 8065).
Altra proprietà curiosa è quella di essere il numero dispari più piccolo che non può essere scritto nella forma $p + 2^n$, con $p$ numero primo ed $n$ intero.
Fuori dall'ambito matematico il 127 è associato a due oggetti celesti, la cometa 127P/Holt-Olmstead e l'asteroide 127 Johanna.
Come di consueto i pezzi di storia del pi greco sono inseriti tra un contributo e l'altro come notizie pi greche, per cui iniziamo subito con i contributi dei carnevalisti per l'edizione 2019 del pi day!
Camille Jordan e la misura di Peano:
Trattasi di un lungo post dedicato alla figura del grande matematico francese Camille Jordan.Lemma di Jordan:
All'inizio viene delineata la biografia del suddetto matematico e viene riportata un'interessantissima spiegazione, da parte di Ian Stewart, degli studi di Jordan inerenti ai gruppi.
Dopodiché si passa all'illustrazione di uno dei maggiori contributi (la misura di Peano-Jordan) apportati da Jordan alla matematica, sia da un punto di vista storico sia entrando brevemente nei dettagli tecnici.
Il suddetto post continua la serie di spiegazioni (trattasi precisamente della puntata n.9) relative all'analisi complessa che man mano sto scrivendo sul blog Scienza e Musica. Gli argomenti centrali sono il lemma di Jordan, di cui viene fornita pure la dimostrazione, e alcuni lemmi minori. Anche se non è un contributo prettamente dedicato al pi greco, il celebre simbolo fa spesso la sua comparsa all'interno dell'articolo.Mauro Merlotti, dello Zibaldone scientifico, propone due contributi a tema $\pi$: Pi greco e spazi curvi e Quiz:
Nel primo si vede che pi greco rimane una "costante" fin che restiamo nell'ambito della geometria euclidea, ma con geometrie iperboliche o ellittiche la costante più famosa può assumere il valore che si vuole; inoltre ci si rende conto che, data una circonferenza, non si riesce neanche a definire pi greco in modo univoco per calcolarne l'area o la lunghezza.
Il secondo contributo riguarda un problema decisamente controintuitivo: per il calcolo del volume di un portatovagliolo serve solo l'altezza, cioè il volume non dipende dal diametro dell'anello.
Notizie pi greche #24
Dilbert di Scott Adams
Nel 1910 il più noto matematico indiano, Srinivasa Ramanujan, trovò una serie di formule rapidamente convergenti per il calcolo delle cifre decimali del $\pi$. Una di queste è già comparsa in una delle precedenti notizie pi greche. La ripropongo anche qui per rinfrescare la memoria: \[\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k!) (1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\] Un'ampia collezione di formule e metodi per determinare le cifre decimali del $\pi$ dovute a Ramanujan sono presenti in un suo articolo del 1914, Modular equations and approximations to $\pi$, che sono anche la base di partenza per le così dette formule di Ramanujan-Sato, sviluppate a partire dal lavoro del 2002 di Takeshi Sato proprio sull'articolo di Ramanujan. Di questo genere di formule ne esistono 11 tipi o livelli, ma tutte sono riducibili alla seguente struttura: \[\frac{1}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty s(k) \frac{Ak+B}{C^k}\] dove $s(k)$ è una sequenza di interi che può essere espressa usando i coefficienti binomiali (che per semplificare possiamo dire sono i numeri di cui è fatto il triangolo di Tartaglia, o di Pascal, dipende se siete italiani o francesi!), mentre $A$, $B$, $C$ sono forme modulari, ovvero funzioni analitiche a più dimensioni generalmente a valori complessi... e più semplice di così non riesco a spiegarle. O forse potrei proporre come esempio di forma modulare la serie di Eisenstein (che peraltro è stata oggetto di studio proprio di Ramanujan): \[E_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}\] dove $k$ è un intero maggiore di $2$, condizione necessaria per la convergenza della serie, mentre $\lambda$ è un vettore dello spazio $\Lambda$.
L'aspetto interessante del coinvolgimento delle forme modulari è che le serie di Ramanujan-Sato note fino al 2012 coinvolgevano numeri reali, ma la prima con numeri complessi venne scoperta proprio quell'anno dal trio Heng Huat Chan, James Wan, Wadim Zudilin, che hanno contribuito abbondantemente allo sviluppo di questa particolare tipologia di successioni, che peraltro sono alla base degli algoritmi utilizzati oggi per determinare sempre più cifre del $\pi$.
S. Ramanujan (1914), "Modular equations and approximations to $\pi$", Quarterly Journal of Mathematics XLV, 350 – 372 (pdf)
T. Sato, Apéry numbers and Ramanujan's series for $\pi$, Abstract of a talk presented at the Annual meeting of the Mathematical Society of Japan, 28–31 March 2002
Chan, H. H., Wan, J., & Zudilin, W. (2012). Complex series for $1 / \pi$. The Ramanujan Journal, 29(1-3), 135-144. doi:10.1007/s11139-011-9358-2 (pdf)
Una bellissima e originalissima composizione del pianista Jean Filoramo che, in una serata dedicata al Tango, così l'aveva annunciata:Flavio Ubaldini, altro esperto della commistione tra matematica e musica, manda due contributi come al solito interessanti:
"Ce soir, pour la première fois au PlayTango de Pavia chez Mariotango, j'executerai le "Vals du Pi" pour pianoforte en La minore que j'ai composé en suivant les 69 (Département 69 à Lyon ou je suis né) premières décimales du nombre Pi ($\pi$).
Dédié à mon amie Annalisa Santi"
L'imprescindibile ruolo dell'invezione dei numeri nello sviluppo dell'umanità - Caleb Everett
Ho riportato delle interessanti considerazioni di Caleb Everett sul ruolo imprescindibile che "l'invezione" dei numeri avrebbe avuto per lo sviluppo dell'umanità.Quindi Il mistero del suono senza numero - matematica e musica a Esperienza inSegna 2019
"...il fatto che alcuni esseri umani siano stati capaci di inventare i numeri è dovuto in larga misura a fattori anatomici. ... Abbiamo cinque dita per mano. La nostra biologia ci fornisce continuamente insiemi di cinque elementi corrispondenti per il cui riconoscimento non siamo cognitivamente predeterminati, così come non lo sono le altre specie. Tuttavia gli esseri umani sono stati in grado di riconoscere questa corrispondenza, ma il mero riconoscimento di tale corrispondenza biologica non conduce necessariamente ai numeri. Si possono riconoscere le quantità, comprese le cinque dita della mano, anche solo in maniera fugace. Tuttavia, quando si introducono parole come "cinque" ..."
Il 21 e il 22 febbraio ho parlato di "Matematica e musica" a Palermo e, come lo scorso anno al premio-UMI Archimede, sono rimasto molto soddisfatto.Maurizio Codogno, che solitamente propone un gran numero di contributi, questo mese è parco di proposte, probabilmente a causa dell'impegnativo (ma solo nel titolo!) contributo iniziale pubblicato sul suo blog sul Post: La dimostrazione matematica più lunga - È impossibile che qualche essere umano la possa leggere.
Giovedì 21 ho avuto un pubblico di più di cinquanta tra docenti e studenti del dipartimento di matematica e informatica. Alla fine ho ricevuto una grande quantità di domande interessanti...
Venerdì 22 è stata la volta di Esperienza inSegna 2019. Il pubblico era di circa 180 persone tra studenti e docenti di scuole superiori, tra cui un liceo musicale. Ci sono stati applausi a scena aperta rivolti soprattutto a ...
Qui troverete anche un video con le foto della giornata.
Più ricco il sommario dalle Notiziole:
- tra le recensioni di libri l'unico di carattere matematico è L'equazione di Dio di David Stipp sulla Formula Più Bella Della Matematica;
- i quizzini della domenica sono Triangolo curvilineo, Scopri il numero, Quattro per cinque e Assemblaggio d'anni.
Notizie pi greche #25
Fox Trot di Bill Amend
Nella ricerca delle migliori approssimazioni di pi greco, Srinivasa Ramanujan scoprì due interessanti approssimazioni che possono essere determinate con due particolari costruzioni geometriche.
La prima approssimazione \[\frac{355}{113} \left ( 1 − \frac{0.0003}{3533} \right ) = 3.1415926535897943 \cdots\] più grande di $\pi$ di circa il $10^{-15}$.
Vediamo come descrive la costruzione il matematico indiano:
A questo punto il quadrato di $BX$ è quasi uguale all'area del cerchio, con un errore minore di un decimo di pollice quando il diametro del cerchio è di 40 miglia.
La seconda approssimazione \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4}\] è invece legata a questa seconda costruzione geometrica:
A questo punto il medio proporzionale tra $OS$ e $OB$ sarà molto vicino a essere uguale a un sesto della circonferenza, con un errore inferiore a un dodicesimo di polliche quando il diametro è 8000 miglia.
S. Ramanujan (1914), "Modular equations and approximations to $\pi$", Quarterly Journal of Mathematics XLV, 350 – 372 (pdf)
Marco Fulvio Barozzi ci guida nei principi fondamentali della matematica con L'assiomatizzazione della geometria e il problema dei fondamenti
Solo negli ultimi vent'anni dell'800 rinacque l'interesse per i "principi primi”" della matematica e della geometria, inaugurando quell'epoca cinquantennale della storia di queste discipline che avrebbe preso il nome di "crisi dei fondamenti". Un primo esempio veramente interessante di assiomatizzazione della geometria fu disponibile in stampa nel 1882, quando il tedesco Moritz Pasch pubblicò le Conferenze sulla geometria moderna, anticipando di due anni un analogo, più noto e più controverso tentativo del connazionale Gottlob Frege riguardante l'aritmetica.Come al solito ricco il sommario dei contributi dei Rudi Mathematici:
- Questo mese abbiamo due "compleanni" da sottoporre, come capita sempre quando quello del mese $N-1$ esce sul blog dopo la data fatidica del 14 e quello del mese $N$ esce invece prima. Ebbene, il 19 febbraio scorso abbiamo festeggiato Niccolò Copernico: il titolo originale del pezzo era Punti di vista, ma come sempre sul blog il titolo si trasforma in un augurio: Buon compleanno, Niccolò
- L’enigma dello spenditore è invece il titolo di quello che - almeno apparentemente - è l'ultimo pezzo della lunga serie degli Enigmi di Canterbury di Dudeney. È assolutamente notevole soprattutto perché Rudy, dopo aver massacrato per una cinquantina di pezzi il povero traduttore, alla fine confessa perfino che qualche volta era il traduttore ad avere ragione. Inaudito.
- Il post di soluzione del problema pubblicato a Febbraio su Le Scienze si intitola Torte all'infinito perché prevede un utilizzo assai riprovevole di splendide torte circolari costrette ad essere ripetutamente sbriciolate in poligoni regolari. L'ennesimo sacrificio di splendidi prodotti ipercalorici sull'altare della Dea Geometria, ahimè.
- Parlando del "compleanno" di Copernico ricordavamo la regola che prevede che ogni compleanno perda il suo titolo originale per trasformarsi sul blog in un augurio esplicito nel giorno del genetliaco. Ogni regola ha la sua eccezione, e questo Perché le mimose è cotanta eccezione: è uscito l'otto marzo, Festa della Donna, ed è proprio per celebrare la ricorrenza che è stato scritto. Si parla infatti dell'origine della festa, della sua storia ed evoluzione, e infine si concentra tracciando un parallelo tra due scienziate entrambe geniali, quasi coetanee, che hanno avuto - e non certo per colpa loro - destini e carriere del tutto diverse: Maria Curie e Clara Immerwahr.
- Proprio in contemporanea con il Carnevale esce un breve post della serie Quick&Dirty, il cui titolo esplicativo, Mondo ladro conciona sulle difficoltà tecniche di comunicazione in un fantasioso e ipotetico mondo in cui tutti sono ladri. D'accordo, d'accordo... forse poi non così tanto "fantasioso e ipotetico", d'accordo. Ma un minimo di ottimismo ci vuole, no?
- Se il post appena citato vedrà la luce solo il giorno del pi day, è con malcelato orgoglio che palesiamo la soddisfazione nell'annunciare che invece il numero 242 di Rudi Mathematici (pdf), l'e-zine, una volta tanto è uscita con un ritardo leggero e compatibile con il CdM. Incredibile, vero? RM di Marzo 2019 è già disponibile...
- Intervista di Davide Passaro all'artista computazionale Enrico Zimuel, in arte Catodo:
Nell’intervista si parla ad ampio spettro di nuove forme di arte che si basano sulla creazione di opere ed installazioni utilizzando il Coding, algoritmi matematici e software e hardware open-source. - Alessandro Budroni riflette sul tema dell'importanza della ricerca con un articolo dal titolo: È veramente importante finanziare la ricerca in matematica pura?
- Altro interessante contributo è questa intervista/recensione di Maria Mannone a Francesco Malaspina e al suo libro Dio e l'ipercubo
- Chiudiamo infine con un articolo di Pasquale Natolitano dal titolo Il cervello analitico: perché il cervello vuole credere alle fake news
Notizie pi greche #26
Leonardo di de Groot e Turk
Una delle illustrazioni più note di Leonardo Da Vinci è L'uomo vitruviano, che vede un uomo incastonato all'interno di un quadrato e di una circonferenza intersecantesi tra loro. L'illustrazione di Leonardo è ispirata a un passaggio dal De architectura di Vitruvio dove vengono descritte le divine proporzioni di un essere umano. Vediamo di capire se, dal punto di vista matematico, l'illustrazione di Leonardo e, per traslato, l'uomo descritto da Vitruvio ha qualcosa di divino o perfetto.
Se prendiamo un cerchio di raggio 1, allora il quadrato dell'uomo vitruviano leonardesco ha lato pari a 1.656, mentre il quadrato corrispondende quadrato aureo ha lato 1.618. Se invece vogliamo che il perimetro del quadrato sia uguale alla circonferenza del cerchio, allora il lato del quadrato risulta pari a 1.571; se infine vogliamo che le aree delle due figure geometriche siano congruenti, allora il quadrato deve avere lato 1.772. Da questo breve esame vediamo che L'uomo vitruviano, per quanto sembri connesso al famoso problema della quadratura del cerchio, non riesca nell'intento, oltre a risultare una stima per eccesso del quadrato divino, se mi passate il termine.
Eppure, secondo qualcuno, Leonardo è andato vicino alla quadratura del cerchio per approssimazione. Intorno all'uomo vitruviano, infatti, si possono realizzare tutta una serie di costruzioni geometriche, o basate sulla descrizione di Vitruvio o per ricostruire il cerchio e il quadrato di Leonardo. In particolare tale Hubert Weller ha identificato una costruzione geometrica, basata sull'uomo vitruviano, che portata avanti per iterazione permette di quadrare il cerchio!
R.Berdan (2004). Vitruvian Man by Leonardo da Vinci (html
Murtinho, V. (2015). Leonardo’s vitruvian man drawing: a new interpretation looking at Leonardo’s geometric constructions. Nexus Network Journal, 17(2), 507-524. doi:10.1007/s00004-015-0247-7
Weller, H. (1999). Squaring the Circle and Leonardos Vitruvian man (pdf)
- Pigreco e la bicicletta:
La nuova proposta di Gianluigi Boccalon per la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica da lui curata ha l'ambizione di introdurre le basi della trigonometria nella scuola secondaria di primo grado, attraverso un percorso che ruota, è proprio il caso di dire, attorno alla bicicletta. - Disuguaglianze di genere nella ricerca e come combatterle, intervista con la sociologa Annalisa Murgia:
Annalisa Murgia è professoressa associata di Sociologia Generale all'Università di Milano e titolare dell'ERC Starting Grant SHARE. Si occupa di disuguaglianze di genere nel mondo della ricerca e la intervista per noi Chiara de Fabritiis, coordinatrice del gruppo pari opportunità dell'Unione Matematica Italiana. - Tutti possono imparare la matematica ad alti livelli: dalle neuroscienze alcune scoperte che dovrebbero cambiare il nostro modo di
insegnare:
Jo Boaler è professore di Mathematic Education alla Stanford University, e cofondatrice di youcubed.org, il sito sull'insegnamento della matematica di cui su MaddMaths! abbiamo un versione parzialmente tradotta in italiano, Youcubed Italia. In questo articolo Jo Boaler presenta alcune nuove scoperte che secondo lei dovrebbero cambiare il modo di insegnare matematica. Tradotto per MaddMaths! da Martina Cecchetto e Federica Poli, con la supervisione di Anna Baccaglini-Frank, dall'originale inglese apparso nel Blog dell'American Mathematical Society On Teaching and Learning Mathematics. - Gli angoli retti, questi sconosciuti:
Da qualche tempo collaboriamo con Adam Atkinson che è solito proporci problemi o osservazioni curiose e interessanti. Questa volta ci presenta un teorema parecchio strano. Forse si è sbagliato, ma dove? Sembra tutto giusto. Ci aiutate a trovare il bandolo della matassa? - Romanian Master of Mathematics 2019:
Bucarest ha accolto anche quest'anno una squadra italiana per i Romanian Master of Mathematics (RMM), arrivati alla loro undicesima edizione. È una delle gare di matematica più prestigiose (e difficili) al mondo, cui si partecipa per invito. Luigi Amedeo Bianchi ci racconta come è andata. - Matematica e Calcio a velocità 5G:
Presto, anche in Italia, le reti di comunicazione mobile adotteranno la tecnologia 5G che consentirà di raggiungere velocità di trasmissione molto più elevate di quelle attuali. Scopriamo cosa c'entrano il calcio e la matematica. - Otto, l'uomo riscritto, recensione matematica:
Esce per la prima volta in Italia, edita da Coconino Press-Fandango, una graphic novel di Marc-Antoine Mathieu. È un fumetto complesso, con elementi che toccano filosofia, arte, psicologia e matematica. Vi proponiamo una recensione di Roberto Natalini. - La polvere sotto il tappeto (con perimetro pari):
Dopo il suo articolo su un problema di terza elementare impossibile, Alberto Saracco è stato, amichevolmente rimbrottato da più parti per uno specifico passaggio trattato con una certa disinvoltura. Vediamo cosa è successo.
- Lo spaziotempo che cambia: articolo dedicato alla gravità quantistica, realizzato in concomitanza con una mia conferenza per gli insegnanti di matematica e fisica sullo stesso argomento tenuta al liceo "Cavalleri" di Parabiago.
- Per la serie dei Wikiritratti Tobias Dantzig, matematico lettone famoso soprattutto per aver realizzato quello che secondo Albert Einstein è il libro più interessante sull'evoluzione della matematica.
- Due Dimostrazioni senza parole, entrambe dedicate al pi greco: la formula di Hutton e la formula di Strassnitzky.
- Usain Bolt è stato veramente il più veloce di tutti i tempi? E grazie a lui abbiamo realmente raggiunto i limiti umani nella corsa? Proviamo a capirci qualcosa in Corri, Usain, corri.
- Per I Rompicapi di Alice ecco Tutta questione di memoria, un excursus sui "calcolatori" umani, la loro memoria, la loro creatività matematica.
Infine dal Caffé del Cappellaio Matto un nuovo articolo della serie de La fisica dei supereroi: In viaggio con Capitan Marvel.
Per proseguire con le tradizioni consolidate, arriva in chiusura la cellula matematica realizzata da Flavio Ubaldini. Prima di lasciarvi al breve ascolto, vi ricordo che il prossimo carnevale, che si terrà il 14 aprile, sarà ospitato su MaddMaths!
Nessun commento:
Posta un commento