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venerdì 8 marzo 2013

Il primo numero di Annals of Mathematics

A gennaio del 1874 faceva il suo esordio The Analyst, curato da Joel Hendricks, che nelle sue intenzioni sarebbe stata una pubblicazione di supporto per
la presentazione e l'analisi di ognuna delle questioni di interesse o di importanza nella matematica pura e applicata, abbracciando in particolare tutte le nuove e interessanti scoperte nell'astronomia teorica e pratica, nella filosofia meccanica e nell'ingegneria.(1)
Dopo un primo anno come mensile a 16 pagine, la rivista con l'anno successivo diventa bimestrale a 32 pagine, andando avanti così fino al novembre del 1883, quando esce il 6.o numero del 10.mo volume.
Il suo posto viene preso da Annals of Mathematics, che di fatto è sempre The Analyst: ne prosegue, infatti, la linea editoriale espressa in quel primo numero del 1874. Dimostrazione di questo fatto è proprio il nuovo primo numero, datato Marzo 1884. Il suo sommario, infatti, inizia con un articolo astronomico di Asaph Hall: The Determination of the Mass of a Planet from the Relative Position of Two Satellites(2). Il punto di partenza è l'utilizzo della terza legge di Keplero per determinare la massa di un pianeta, di massa $m$ e con un satellite che gli ruota intorno, che ad esempio si muove intorno al Sole, di massa $M$ \[\frac{m}{M} = \frac{\tau_0^2}{\tau^2} \frac{a^3}{a_0^3}\] dove $\tau_0$, $\tau$ sono i periodi del pianeta e del satellite, e $a_0$, $a$ sono le distanze medie del pianeta dal Sole e del satellite dal pianeta. Ovviamente ci sarebbero da considerare alcune correzioni, come ad esempio il fatto che le orbite sono nella realtà ellittiche (anche se non di troppo). Ciò che però risulta interessante nell'articolo di Hall è che il suo obiettivo è quello di ridurre al minimo l'errore dovuto all'osservatore e senza dover necessariamente ripetere più volte la misura (che, secondo l'autore dell'articolo, non viene ridotto da questa buona pratica).
Il metodo proposto è quello sviluppato da Mr. Backlund, un astronomo dell'Osservatorio di Pulkowa che è sostanzialmente un metodo puramente geometrico che porta a un sistema di equazioni differenziali che risolvono il problema della determinazione della posizione esatta dei vari componenti del sistema fisico, dove $P$è il pianeta, $S_1$, $S_2$ i due suoi satelliti, $\Pi$ il polo celeste.
Si seguita a guardare sui cieli con la Luna, con la prima parte di un lavoro di tale G. W. Hill che si interessa delle influenze del moto dell'eclittica sul nostro satellite.
Se il discorso sulla Luna, che viene lasciato in sospeso (in questo post mi occupo solo del primo numero di Annals, quindi potrei, eventualmente, andarmi a cercare il seguito per un post apposito), rientra nella matematica applicata a problemi fisici, il resto del sommario è esplicitamente legato con la così detta matematica pura (anche se, ci insegna Turing, qualunque cosa, in matematica, può trovare applicazione nella vita reale). Arrivano così i tre articoli che ho tradotto a gennaio 2013: le proprietà degli asintoti retti di E. B. Smith; la soluzione dell'equazione quartica $x^4 + Ax + B = 0$ di A. M. Sawin; e l'estrazione approssimata di una radice di Henry Heaton.
Passiamo ora all'arte, o qualcosa del genere. La prospettiva, ci viene raccontato, è stata introdotta in maniera piuttosto primitiva devo dire, da Giotto. Essa può essere utilizzata con successo non solo nell'arte per fornire profondità ai quadri, ma anche nel disegno tecnico. E' questo lo scopo del metodo proposto da WM. M. Thornton per la costruzione delle proiezioni prospettiche(3), dove si cerca di migliorare la tecnica allora in uso (ricordo che siamo nel 1884). In particolare si suggerivano questi due miglioramenti:
utilizzare piani e prospetti realizzati su fogli diversi da quello che dovrebbe contenere l'immagine; e impiegare scale differenti per i vari insiemi di linee utilizzati nella costruzione, così da fare a meno dell'uso di punti di fuga lontani.
L'idea è sostanzialmente quella di determinare la proiezione di un oggetto su un piano partendo dalle distanze dello schermo e degli oggetti rispetto al punto di vista. Ovviamente questa operazione fatta nello spazio, e quindi per tutte e tre le coordinate, o per i due piani, se si preferisce, quello $x-y$ e quello $x-z$, ottenendo così due disegni distinti, come suggeriscono le migliorie di cui sopra.
Conclude il numero quello che è probabilmente il più importante di questa prima, storica uscita: Mr. James Glaisher's Factor Tables and the Distribution of Primes del professor W. W. Johnson(4).
In effetti l'articolo di Johnson dovrebbe essere una recensione, ma come sempre succede quando si recensisce un libro di matematica, alla fine si racconta una storia sulla matematica, e in questo caso è la storia dei numeri primi, visto che il libro di Glaisher pubblicava gli ultimi risultati ottenuti nel 1884 riguardanti la ricerca sui numeri primi. La storia inizia con Euler che nel 1774 pubblica un articolo su come costruire una tabella per calcolare i fattori di un milione di numeri. Questo lavoro verrà proseguito da Lambert e darà i suoi frutti nel 1810 quando Chernac pubblica in Cribrum Arithmeticum la prima tabella con un milione di fattori: un lavoro che ha impiegato anni per essere concluso. Si susseguono i miglioramenti: Burckhardt aggiorna fino a due milioni dopo appena tre anni dall'uscita del lavoro di Chernac, mentre nel 1850 i tre passi successivi (fino a 6 milioni) sembra che siano compiuti da Crelle. E' quanto scrive Gauss in una lettera a Zacharias Dase, comunicandogli che i manoscritti con questo avanzamento sono già depositati presso l'Accademia di Berlino. Dase, quindi, si mette al lavoro per completare i 4 milioni successivi, ma muore improvvisamente nel 1861 lasciando il lavoro incompiuto: solo il 7.mo milione è completo (e verrà pubblicato nel 1862), mentre gli altri 3 milioni, pur se in gran parte calcolati, sono comunque non finiti. Il lavoro di Dose verrà però completato da Rosenberg, che tra ilo 1863 e il 1865 completerà l'8.o e il 9.o milione. Prima di andare, però, avanti verso il 10.mo milione bisogna pubblicare i milioni mancanti di Crelle: l'edizione viene affidata dall'Accademia di Berlino proprio a James Glaisher, che revisiona le liste di Crelle, trovate non accurate, e da alle stampe, tra il 1879 e il 1883, le liste di questi milioni mancanti.
Grazie alla conclusione di questo enorme lavoro, però, da una parte si poterono classificare tutti i numeri primi, e dall'altra si poterono testare alcune formule che erano state sviluppate negli anni per rappresentare e prevedere la distribuzione dei numeri primi all'interno dei naturali. La ricerca di questa distribuzione inizia con Legendre e la sua formula per i numeri primi inferiori a un dato $x$ \[\frac{x}{\log x - 1.08366}\] L'utilizzo del logaritmo, come giustificato dallo stesso Glaisher nella prefazione del suo libro, è dovuto al fatto che il logaritmo di un numero è semplicemente la somma dei logaritmi dei suoi fattori. Questo vuol dire che, in un qualche modo, il logaritmo dovrebbe essere in grado di distinguere i numeri primi in mezzo a tutti gli altri. Ad ogni modo Legendre non venne lasciato solo: si unirono alla caccia della funzione di distribuzione dei numeri primi anche gente come Gauss, Tchebycheff, Hargreave, ma la formula che si è rivelata la più accurata di tutte, è stata quella di Riemann, con un errore inferiore a $1/60000$, come era immaginabile per noi che ci troviamo a venire dopo. E a proposito di dopo, vi ricordo che è stato scoperto il 48.mo numero primo di Mersenne: dettagli forniti da Annarita e .mau.
Il volume è quindi completato dagli esercizi.
Ricordo, infine, per i più distratti che Annals of Mathematics è la rivista dove Andrew Wiles ha pubblicato la sua dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
(1) Hendricks, Joel E. (1874). "Introductory remarks". The Analyst 1 (1): 1–2
(2) Hall A. (1884). The Determination of the Mass of a Planet from the Relative Position of Two Satellites, The Annals of Mathematics, 1 (1) 1-4. DOI:
(3) Thornton W.M. (1884). Construction of Perspective Projections, The Annals of Mathematics, 1 (1) 12-13. DOI:
(4) Johnson W.W. (1884). Mr. James Glaisher's Factor Tables and the Distribution of Primes., The Annals of Mathematics, 1 (1) 15-23. DOI:

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