Sul legame tra gravità e densità

Visto che il porssimo Carnevale della Fisica sarà legato alla didattica, ho pensato di condividere uno dei contributi che sto scrivendo in questo periodo per l'Osservatorio di Brera.
In questo caso un breve articolino sulla gravità e la densità ispirato a un bel romanzo di fantascienza di cui non ho avuto modo di parlare.

Nel romanzo Fuga nei mondi perduti di Jack Vance, uno dei pianeti incontrati da Myron Tany e da gruppo di avventurieri cui si è unito è un pianeta roccioso di grandi dimensioni, quello che definiremmo oggi Super-Terra.
L'autore, a un certo punto, afferma che la gravità su questo pianeta è superiore rispetto a quella della Terra proprio in virtù del suo raggio maggiore. E' possibile verificare ciò?
Per farlo, innanzitutto ricordiamo che la densità di un corpo viene definita come il rapporto tra la massa e il volume di quel corpo:

Prendiamo, dunque, la formula dell'attrazione gravitazionale tra due corpi, dove la massa m la interpretiamo come la massa di un corpo posto sulla superficie (o in prossimità) del pianeta di massa M. Supponendo che il pianeta abbia volume V, allora invertendo la formula per la densità, possiamo sostrituire M con la seguente espressione:

e quindi

con g accelerazione di gravità del pianeta.
Semplificando m otteniamo:

E se ci troviamo esattamente sulla superficie terrestre, ricordando che il volume è

otteniamo che l'espressione per l'accelerazione gravitazionale planetaria è

Scopriamo dunque che: l'espressione dipende sia dal raggio del pianeta, sia dalla sua densità. Questo vuol dire che, in presenza di un pianeta roccioso con una densità dunque non troppo differente da quella della Terra, l'affermazione di Jack Vance è sostanzialmente corretta.