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martedì 24 maggio 2011

Matematica con delitto

More about Il caso con nove soluzioni Ne Il caso con nove soluzioni, il titolo, identico anche in originale (The case with nine solutions), è ispirato alle combinazioni che sir Clinton Driffield applica per circoscrivere le possibili cause di due delle quattro morti che costellano il romanzo, ovvero le morti di Hassendean e della signora Silverdale.
Innanzitutto è necessario circoscrivere le cause della morte a tre possibili casi:
suicidio; incidente; omicidio (che contempla anche il caso di omicidio colposo, ad esempio due lottano uno con l'altro per il possesso di una pistola o di un coltello, e uno dei due muore).
Se raggruppiamo tre entità in gruppi da due otteniamo nove combinazioni:

Hassendean---Silverdale
Incidente---Incidente
Suicidio---Suicidio
Omicidio---Omicidio
Incidente---Suicidio
Suicidio---Incidente
Incidente---Omicidio
Omicidio---Incidente
Suicidio---Omicidio
Omicidio---Suicidio

Per determinare le combinazioni, il numero di possibili raggruppamenti, si possono fare vari ragionamenti. Per arrivare alla formula che ci interessa iniziamo dalla seguente: \[C_{nk} = \frac{n!}{(n-k)!k!}\] dove \[n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1\] Quindi nel nostro caso, dato $n=3$ il numero degli oggetti, $k=2$ il numero di oggetti che compongono ciascun gruppo, il numero di combinazioni di tre oggetti in gruppi di due sarà \[C_{32} = 6/2 = 3\] In effetti questa restituisce il numero di permutazioni possibili nel nostro insieme di elementi escludendo le ripetizioni, ovvero O-S ed S-O sono identici. Se invece vogliamo tener conto dell'ordine, ovvero dire che O-S ed S-O sono due raggruppamenti distinti, allora dovremo usare la seguente formula: \[C_{nk} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}\] che nel nostro caso darà: \[C_{32} = 24/4 = 6\] Con questa formula, però, non abbiamo considerato gli eventi O-O, S-S, I-I, che sono tre e sommandoli all'ultimo risultato otteniamo 9. Potremmo generalizzare e quindi dovremmo scrivere la nostra formula in questo modo: \[\frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} + n\] Mettiamo alla prova la nostra formula utilizzando la tabella di sopra ma distinguendo tra i due tipi di omicidio, quello intenzionale (Omicidio 1) e quello colposo (Omicidio 2)

Hassendean---Silverdale
Incidente---Incidente
Suicidio---Suicidio
Omicidio1---Omicidio1
Omicidio2---Omicidio2
Incidente---Suicidio
Suicidio---Incidente
Incidente---Omicidio1
Omicidio1---Incidente
Incidente---Omicidio2
Omicidio2---Incidente
Suicidio---Omicidio1
Omicidio1---Suicidio
Suicidio---Omicidio2
Omicidio2---Suicidio
Omicidio1---Omicidio2
Omicidio2---Omicidio1

Vengono, in totale, 16 combinazioni e quindi 16 casi possibili. Applichiamo la formula: \[5!/(2! 3!) + 4 = 14\] Infatti, quando si suddividono n elementi in gruppi di 2 il numero di combinazioni possibili è $n^2$, che con $n=4$ vale 16, ovvero il numero di casi possibili sopra elencati.
Come spiegare la formula (cui, lo ammetto, saremmo potuti arrivare prima)?
Abbiamo $n$ elementi. Vogliamo raggrupparli in coppie e calcolare tutti i possibili modi in cui è possibile farlo, contando anche le ripetizioni e gli abbinamenti con se stessi. Allora il primo elemento sarà accoppiato con gli altri $n-1$ e con se stesso per un totale di $n$, il secondo elemento sarà accoppiato con gli altri $n-1$ e con se stesso per un totale di $n$, e così via fino all'$n$-simo elemento. Se sommiamo ciascun risultato otteniamo $n$ sommato con $n$ per $n$ volte, ovvero: \[\sum_i^n n = n \cdot n = n^2\] ovvero la formula cercata per risolvere questo tipo di problemi.

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