Matematica con delitto

Ne Il caso con nove soluzioni, il titolo, identico anche in originale (The case with nine solutions), è ispirato alle combinazioni che sir Clinton Driffield applica per circoscrivere le possibili cause di due delle quattro morti che costellano il romanzo, ovvero le morti di Hassendean e della signora Silverdale.
Innanzitutto è necessario circoscrivere le cause della morte a tre possibili casi:
suicidio; incidente; omicidio (che contempla anche il caso di omicidio colposo, ad esempio due lottano uno con l'altro per il possesso di una pistola o di un coltello, e uno dei due muore).
Se raggruppiamo tre entità in gruppi da due otteniamo nove combinazioni:

Hassendean---Silverdale
Incidente---Incidente
Suicidio---Suicidio
Omicidio---Omicidio
Incidente---Suicidio
Suicidio---Incidente
Incidente---Omicidio
Omicidio---Incidente
Suicidio---Omicidio
Omicidio---Suicidio

Per determinare le combinazioni, il numero di possibili raggruppamenti, si possono fare vari ragionamenti. Per arrivare alla formula che ci interessa iniziamo dalla seguente: $$C_{nk} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$$ dove $$n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$$ Quindi nel nostro caso, dato $n=3$ il numero degli oggetti, $k=2$ il numero di oggetti che compongono ciascun gruppo, il numero di combinazioni di tre oggetti in gruppi di due sarà $$C_{32} = 6/2 = 3$$ In effetti questa restituisce il numero di permutazioni possibili nel nostro insieme di elementi escludendo le ripetizioni, ovvero O-S ed S-O sono identici. Se invece vogliamo tener conto dell'ordine, ovvero dire che O-S ed S-O sono due raggruppamenti distinti, allora dovremo usare la seguente formula: $$C_{nk} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}$$ che nel nostro caso darà: $$C_{32} = 24/4 = 6$$ Con questa formula, però, non abbiamo considerato gli eventi O-O, S-S, I-I, che sono tre e sommandoli all'ultimo risultato otteniamo 9. Potremmo generalizzare e quindi dovremmo scrivere la nostra formula in questo modo: $$\frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} + n$$ Mettiamo alla prova la nostra formula utilizzando la tabella di sopra ma distinguendo tra i due tipi di omicidio, quello intenzionale (Omicidio 1) e quello colposo (Omicidio 2)

Hassendean---Silverdale
Incidente---Incidente
Suicidio---Suicidio
Omicidio1---Omicidio1
Omicidio2---Omicidio2
Incidente---Suicidio
Suicidio---Incidente
Incidente---Omicidio1
Omicidio1---Incidente
Incidente---Omicidio2
Omicidio2---Incidente
Suicidio---Omicidio1
Omicidio1---Suicidio
Suicidio---Omicidio2
Omicidio2---Suicidio
Omicidio1---Omicidio2
Omicidio2---Omicidio1

Vengono, in totale, 16 combinazioni e quindi 16 casi possibili. Applichiamo la formula: $$5!/(2! 3!) + 4 = 14$$ Infatti, quando si suddividono n elementi in gruppi di 2 il numero di combinazioni possibili è $n^2$, che con $n=4$ vale 16, ovvero il numero di casi possibili sopra elencati.
Come spiegare la formula (cui, lo ammetto, saremmo potuti arrivare prima)?
Abbiamo $n$ elementi. Vogliamo raggrupparli in coppie e calcolare tutti i possibili modi in cui è possibile farlo, contando anche le ripetizioni e gli abbinamenti con se stessi. Allora il primo elemento sarà accoppiato con gli altri $n-1$ e con se stesso per un totale di $n$, il secondo elemento sarà accoppiato con gli altri $n-1$ e con se stesso per un totale di $n$, e così via fino all'$n$-simo elemento. Se sommiamo ciascun risultato otteniamo $n$ sommato con $n$ per $n$ volte, ovvero: $$\sum_i^n n = n \cdot n = n^2$$ ovvero la formula cercata per risolvere questo tipo di problemi.