La caratteristica principale della curva che prende il nome da Leonhard Euler è che la sua curvatura si modifica in maniera lineare con la distanza dal punto d'origine.
Fu proprio Euler a scoprirla per la prima volta in risposta a un problema sull'elasticità che gli era stato posto da Jacob Bernoulli: quale forma deve avere una molla pre-curvata in modo tale che, quando appiattita premendo sull'estremo libero, diventa una linea retta?
Euler determinò le proprietà di questa spirale nel 1744, osservando che essa possedeva due punti limite, ovvero due punti intorno ai quali si arrotolava sempre di più senza mai riuscire a raggiungerli.
In termini moderni, la curva può essere rappresentata da questa coppia di equazioni integrali: \[x = \int \sin \frac{s^2}{2a} ds\] \[y = \int \cos \frac{s^2}{2a} ds\] Poco più di 70 anni più tardi, nel 1818, mentre stava lavorando sulla diffrazione della luce, Augustin Fresnel sviluppò quelli che sono oggi noti come gli integrali di Fresnel. Successivamente, nel 1874, Alfred Marie Cornu mostrò che l'intensità della diffrazione poteva essere vista comne una spirale quadrando la distanza tra due punti del grafico, motivo per cui è nota anche come spirale di Cornu.
L'ultimo a riscoprire la curva fu Arthur Newell Talbot nel 1880 mentre lavorava a un problema legato alla progettazione dei binari ferroviari. Il punto era quello di rendere la guida delle locomotive il più fluida possibile. Era noto sin dagli inizi sel XIX secolo che la forma della pista dovesse avere una curvatura variabile. Ci furono alcune proposte, come quella riportata da William Rankine nel suo manuale di ingegneria civile in cui attribuiva a tale Mr. Gravatt la scoperta tra il 1828 e il 1829 di una curva sinusoidale utile allo scopo.
Ci furono anche altre proposte, come i cerchi di William Froude nel 1842, ma fu Talbot il primo ad approcciare il problema in termini matematici, scoprendo alla fine quella che chiamò la spirale di transizione ferroviaria, che solo nel 1922 venne correttamente associata da Arthur Higgins con la spirale di Eulero originale.
Oltre agli ambiti in cui è stata scoperta (elasticità, diffrazione, costruzione di percorsi), la spirale di Eulero trova applicazione anche in altri campi, come per esempio l'ottica, oppure nello sport: Adam Brouillard nel 2016 ha infatti mostrato che la spirale di Eulero può essere utilizzata per ottimizzare l'entrata in curva nel corso di una gara motoristica.
- en.wiki
- The Euler spiral: a mathematical history. di Raph Levien
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