Le grandi domande della vita: Questioni di geometria

Anche se più avanti avremo alcune questioni geometriche, voglio iniziare la puntata di oggi con la risposta a una ovvietà: \[\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Ovviamente si può generalizzare la dimostrazione, ma questa cosa la lascio a chi non è andato a spulciare nel link su Quora!

L'area di un triangolo, il centro di un cerchio

Domanda anche questa abbastanza semplice: supponendo che due lati di un triangolo siano uguali (quindi un triangolo isoscele) determinare il massimo valore possibile dell'area.
Il modo più veloce per vedere la faccenda è utilizzare la trigonometria. In generale, dati due lati \(a\), \(b\) di un triangolo e \(\gamma\) il valore dell'angolo compreso, l'area del triangolo è data da \[A = \frac{1}{2} ab \sin \gamma\] Quindi, quando \(a = b\), la formula si riduce a \[A = \frac{1}{2} a^2 \sin \gamma\] E poiché il seno ha valore massimo quando l'angolo è pati a 90° (\(\pi/2\)), il triangolo isoscele ha area massima quando è anche un triangolo rettangolo.
Il secondo quesito geometrico è legato alla ricerca del centro di un cerchio usando una sola corda.
Vediamo se riesco a spiegarvi l'immagine (a sua volta ispirata a un'immagine di Girija Warrier all'interno delle risposte):

La corda scelta è CD. Si trova l'asse di CD utilizzando due circonferenze di pari raggio una di centro C e l'altra di centro D. Quindi si traccia la tangente alla circonferenza in C e da qui si traccia la retta perpendicolare alla tangente. L'intersezione tra quest'ultima e l'asse di simmetria del segmento coincide con l'origine del cerchio (il punto G nell'immagine).