Su un errore di Godel

Kurt Godel in un testo del 1930 scrisse:

Se il teorema di completezza potesse essere dimostrato anche per le parti superiori della logica (il calcolo funzionale esteso), allora si potrebbe dimostrare in assoluta generalità che la completezza sintattica deriva dal monomorfismo; e poiché sappiamo, per esempio, che il sistema di assiomi di Peano è monomorfico, da ciò deriverebbe la risolubilità di ogni problema di aritmetica e analisi esprimibile nei Principia mathematica.
Una tale estensione del teorema di completezza è, tuttavia, impossibile, come ho recentemente dimostrato (...). Questo fatto può anche essere espresso così: il sistema di assiomi di Peano, con la logica dei Principia mathematica aggiunta come sovrastruttura, non è sintatticamente completo.

In questo caso Godel si riferisce in particolare al suo teorema di completezza, che stabilisce una corrispondenza tra validità logica e dimostrabilità logica nella logica del primo ordine, che è sostanzialmente una logica proposizionale (fatta di proposizioni e connettivi logici), con l'aggiunta di quantificatori esistenziali (esiste x) e universali (per ogni x), predicati, funzioni, costanti e variabili.
Secondo Giuseppe Raguni, però, l'idea di Godel dietro il calcolo funzionale esteso, e quindi tutto il passo poco sopra citato, nasconde un errore:

L'obiettivo fondamentale di questo articolo è correggere un modo dannoso di interpretare l'osservazione erronea di Godel al Congresso di Konigsberg nel 1930. Nonostante l'errore di Godel sia piuttosto veniale, la sua errata lettura ha prodotto e continua a produrre frutti pericolosi, come applicare i teoremi di incompletezza al secondo ordine aritmetico e dedurre l'incompletezza semantica del suo linguaggio da questi stessi teoremi. I primi tre paragrafi sono introduttivi e servono a definire i linguaggi intrinsecamente semantici e le loro proprietà, per discutere le conseguenze dell'ordine di espressione usato in un linguaggio e qualche domanda sulla completezza semantica: in particolare si evidenzia il fatto che una teoria non formale può essere semanticamente completa nonostante l'utilizzo di un linguaggio semanticamente incompleto. Infine, viene proposta un'interpretazione alternativa dello sfortunato commento di Goedel.

Per risolvere la faccenda, Riguni suggerisce che

(...) Gödel si riferisca all'aritmetica formale considerata nella sua dimostrazione del 1934, in cui è consentita la quantificazione sulle variabili funzionali e proposizionali. In tal caso, nel 1930 egli riteneva categoriale questa teoria e, a causa della sua incompletezza sintattica, fornì un linguaggio semanticamente incompleto. Questa spiegazione è coerente con il fatto che entrambi i suoi teoremi originali di completezza semantica non possono essere applicati a questo sistema, a causa della suddetta quantificazione.

O, detta in altri termini, nel 1930 non aveva ancora ben chiari i dettagli della dimostrazione che avrebbe completato nel 1934.