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lunedì 20 ottobre 2014

Paradosso cosmico

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Come tutti i generi, anche la fantascienza in ultima analisi è interessata a parlare dell'essere umano. In particolare, come ricorda Isaac Asimov, parla dell'essere umano contemporaneo, nascondendo il messaggio dietro una rappresentazione meravigliosa, dietro un sense of wonder dovuto a progressi scientifici inimmaginabili.
I due progressi scientifici che muovono la maggior parte della fantascienza (non sono gli unici, per fortuna), sono i viaggi interplanetari e i viaggi nel tempo. In quest'ultimo filone, il romanzo più noto è indubbiamente La macchina del tempo (1895) di George Wells, ma non è il primo viaggio nel tempo letterario propriamente detto. In effetti nel Mahabharata, testo mitologico indiano, viene raccontata la storia del re Revaita, che viaggia in molti mondi fino a raggiungere Brahma il creatore: una volta tornato a casa, scoprì che nel frattempo sulla Terra erano trascorsi centinaia di anni. Come scrive Bertil Falk, aveva evidentemente innescato una dilatazione del tempo einsteiniana(9).

Auguste Blanche
Questa sorta di intuizione sulla dilatazione temporale non venne più utilizzata fino all'arrivo della teoria della relatività (in effetti in Rip van Winkle il protagonista non viaggia, ma si addormenta, e in ogni caso finisce nel futuro), mentre i paradossi temporali non attesero certo la teoria di Einstein per entrare in letteratura. Ad esempio nel 1846 il romanziere svedese August Blanche da alle stampe il racconto 1846 och 1946 (1846 e 1946), dove il protagonista, un archeologo, Bautastenius, si ritrova proiettato 100 anni nel futuro dalla dea della verità. Qui incontra suo nipote, persona antipatica, che gli rivela che il nonno paterno, risposatosi, era impazzito credendosi un grande archeologo, tanto da farsi mummificare. Così nel 1946 erano presenti contemporaneamente un Bautastenius viaggiatore del tempo e un Bautastenius mummificato. Tornato nel suo tempo, fu tanta e tale l'antipatia verso il nipote, che il nostro eroe decise di modificare il futuro, al punto da acconsentire alle nozze della figlia con il fidanzato e da non volersi più risposare, in modo da non generare l'odiato nipote(9).
Questo di Blanche è un paradosso tutto sommato innocuo: l'intervento nel passato ha modificato solo la vita del protagonista e dei suoi parenti più stretti. E' un proto-paradosso della conoscenza: David Deutsch e Michael Lockwood utilizzano questo nome(5) per sintetizzare paradossi tipo La scoperta di Morniel Mathaway di William Tenn, racconto radiofonico per la NBC trasmesso il 17 aprile 1957, dove il pittore Mathaway ottiene un grandissimo successo grazie a un critico d'arte del futuro che, in maniera incidentale, gli porta un catalogo con i suoi quadri, che ovviamente il pittore provvederà a ricopiare. E' un po' come se uno studente del futuro tornasse indietro nel tempo con la teoria della relatività generale per farsela firmare da Einstein prima che questi la scopra, permettendo ad Einstein di imparare la teoria della relatività e non di scoprirla. Nonostante il risultato sia identico, il processo nel suo complesso suonerebbe fortemente sbagliato.
In effetti questo genere di paradosso può essere considerato come una sorta di loop temporale, concetto che gioca un ruolo fondamentale in Paradosso cosmico di Charles Harness, chimico e avvocato, che scrive il suo romanzo per arrotondare lo stipendio nei ritagli di tempo concessigli dal lavoro.
Il risultato è sicuramente pregevole, al livello della miglior fantascienza che può venirvi in mente, mentre il protagonista, Alar, membro della Società dei Ladri, viene sviluppato nel solco della tradizione dei personaggi di Alfred Elton Van Vogt o dell'Hedrock l'immortale di Robert Heinlein. Rispetto, però, ai personaggi di Van Vogt e di Heinlein, Alar sembra velato da una qual certa malinconia, mentre l'intera vicenda è gravata da un forte senso di inevitabilità. Il ladro, infatti, che insieme alla sua società combatte per la liberazione del genere umano dalle società distopiche presenti sul pianeta, è bloccato all'interno di un loop temporale, vittima di un viaggio nello spazio conclusosi male.
Il concetto di loop temporale, però, che in un certo senso accomuna i due romanzi di Blanche e Harness, dal punto di vista scientifico non sarebbe possibile concepirlo senza il lavoro in particolare del logico e matematico Kurt Godel.

Einstein e Godel. Foto di Oskar Morgenstern via plus magazine
Quest'ultimo, noto soprattutto per la scoperta dei famosi teoremi di incompletezza, conobbe, durante il suo primo viaggio negli Stati Uniti, Albert Einstein nel 1933, diventandone grande amico. Quando, sul finire del 1939, a causa dello scoppio della Seconda Guerra Mondiale, Godel, insieme con la moglie, si trasferì definitivamente a Princeton, Einstein divenne un punto di riferimento importante per il logico e matematico, tanto che fu proprio il teorico ad accompagnarlo, insieme con l'economista Oskar Morgenstern, all'esame per l'ottenimento della cittadinanza statunitense.
Possiamo considerarlo come un segno di riconoscenza, dunque, l'articolo, uscito come regalo per il 70.mo compleanno del fisico teorico, contenente un nuovo tipo di soluzione cosmologica delle equazioni di campo di Einstein(2).
La soluzione $S$ delle equazioni di Einstein, e quindi l'universo di Godel, presenta una serie di proprietà(2):
1) $S$ è omogenea
2) Esistono delle trasformazioni di simmetria (che formano un gruppo, nello specifico, a un parametro, ovvero è necessario specificare un solo numero per descrivere le proprietà del gruppo) che trasportano ogni linea di materia in se stessa.
3) $S$ è simmetrico rispetto alle rotazioni.
4) Si può introdurre all'interno dell'intera soluzione una direzione positiva del tempo.
5) Non è possibile assegnare una coordinata temporale ad ogni punto dello spazio tempo tale che $t$ sia sempre crescente.
6) Ogni linea di materia è una linea aperta di lunghezza infinita; è teoricamente possibile viaggiare nel passato e anche influenzarlo.
7) Non esistono porzioni di spazio tridimensionale che siano costituite esclusivamente da punti di tipo spazio e che intersecano ogni linea di materia in un punto.
8) Non esiste alcun tempo assoluto.
9) La materia ha una rotazione relativa rispetto alla bussola dell'inerzia con velocità angolare $2 \sqrt{\pi \kappa \rho}$
Ne risulta, alla fine, un universo rotante che consente i viaggi nel tempo, quei loop temporali citati nella prima parte (lo stesso Godel scrive che (6) "implica che tutte le coordinate dei punti iniziale e finale di una linea di tipo tempo sono uguali in certi casi", il che, però, è in contraddizione con il fatto che la coordinata 0 deve sempre aumentare se ci si muove nella direzione temporale positiva) e intuiti prima dalla letteratura fantascientifica e poi ipotizzati scientificamente da Godel e altri teorici.
L'interesse di Godel nella relatività, però, andò oltre gli aspetti fisici e matematici: propose, infatti, un parallelismo tra la filosofia kantiana e la relatività einsteiniana relativamente al concetto del tempo(2, 6, 11). In questo caso la posizione del logico era semplice: Kant aveva semplicemente intuito la natura non assoluta del tempo, successivamente scoperta all'interno della teoria della relatività di Einstein. Infatti, scrive Godel,
(...) il tempo non è né "qualcosa che sussista per se stesso" (cioè una entità separata al di là degli oggetti che vi sono immersi) né "una determinazione o ordine inerente alle cose stesse", ma che esiste solo in un senso relativo. L'entità relativamente alla quale esso esiste, secondo Kant, è il soggetto percipiente o, più precisamente, la sua "sensibilità";
Interessanti, poi, le seguenti considerazioni sul tempo:
(...) in tutte le soluzioni cosmologiche note (...) un tale "tempo universale assoluto" può essere davvero definito. Ma nonostante ciò, le conclusioni sopra ricavate possono essere mantenute perché esistono altre soluzioni cosmologiche per le quali una definizione di un tempo universale assoluto in termini di grandezze fisiche è dimostrabilmente impossibile.
E' però possibile introdurre in alcuni universi un tempo assoluto. In questo caso, però, tale possibilità
(...) non è certamente dovuta alle leggi di natura (che sono quelle soddisfatte in tutte le soluzioni cosmologiche) ma solo alla speciale distribuzione e al moto che la materia ha in quei casi.

The philosophy of time travel - pdf
La possibilità pratica del viaggio nel tempo, inteso come viaggio nel passato, introduce però anche un secondo genere di paradosso, che contraddice le regole della logica e della fisica molto più del loop temporale (che, c'è da ricordare, è possibile secondo Godel solo in un universo rotante, come non è il nostro): il paradosso del nonno, introdotto per la prima volta nel 1943 dallo scrittore francese René Barjavel ne Il viaggiatore imprudente. Questa la sinossi: un nipote torna indietro nel tempo e uccide suo nonno prima che incontri sua nonna, rendendo quindi impossibile la sua nascita e di conseguenza anche il suo viaggio a ritroso nel tempo!
Una variazione sul paradosso del nonno è presente in Esperimento di Fredric Brown(1), dove il professor Johnson mostra a due suoi colleghi una specie di bilancia che, in realtà, è una piccola macchina del tempo. Compie due esperimenti nel racconto: nel primo manda una mela un cubo di ottone di poche libbre(*) avanti nel tempo. Questa, posata sul piatto, scompare per poi rimaterializzarsi sempre in quel punto cinque minuti più tardi. Poi manda la mela il cubo indietro nel tempo...
Non ci fu nessuna specie di paradosso. Il cubo rimase.
Ma il resto intero dell'universo, professori e tutto, sparì.
La possibilità di concepire paradossi del genere sembra essere un'obiezione più che sufficiente al viaggio nel tempo (anche se questo non impedisce alla letteratura di genere di utilizzarlo) e d'altra parte se il viaggio nel tempo fosse possibile, allora dovrebbe in qualche modo esserci un meccanismo che rende impossibile modificare gli eventi del passato, violando però il principio del libero arbitrio (tra l'altro espresso matematicamente come teorema da Conway):
Concludiamo che se il viaggio nel tempo è impossibile, allora la ragione deve ancora essere scoperta. Possiamo o non possiamo, un giorno, localizzare o creare delle curve temporali chiuse. Ma se qualcosa come il multiverso è vera - e nella cosmologia quantistica e nella teoria quantistica della computazione non ci sono alternative note - allora tutte le obiezioni standard al viaggio nel tempo dipendono da falsi modelli della realtà fisica. Così è incombente su chiunque voglia ancora rigettare l'idea del viaggio nel tempo di arrivare con una qualche nuova argomentazione scientifico o filosofica(5).
A proporre un modo nuovo per risolvere il paradosso arriva nel 1991 proprio David Deutsch, che
(...) mostrò che per un sistema quantistico attraversato da un loop temprale esiste sempre una soluzione unica, che non permette segnali superluminali(12).

Loop temporale (tecnicamente curva chiusa di tipo tempo) illustrato da Dmitry Schidlovsky
In termini un po' più divulgativi la si potrebbe mettere in questo modo(13): immaginiamo di inviare indietro nel tempo non una persona, ma una particella, tale che al suo arrivo inibisca la sua creazione. In quest'ottica, però, tutto il discorso passa dal determinismo iniziale a un discorso probabilistico: la particella ha infatti una probabilità su due di impedire all'acceleratore di crearla. Poiché Deutsch suppone che le caratteristiche della particella che entra nel loop devono essere identiche a quelle della particella che ne esce, se questa ha una probabilità 1/2 di colpire l'interruttore che spegnerà l'apparato sperimentale, allora la particella creata dall'acceleratore deve avere una probabilità 1/2 di colpire o di non colpire l'apparato stesso. Spostando il discorso al nonno e al nipote, questo implica che il nipote ha una probabilità 1/2 di uccidere il nonno, ma quest'ultimo ha anche una probabilità 1/2 di salvarsi, e quindi c'è una probabilità di 1/2 che il paradosso non si presenti nella realtà.
Provando a giocare con questa idea teorica di Deutsch, si ottengono alcuni risultati ben poco intuitivi, come per esempio la possibilità di risolvere in un tempo polinomiale un problema NP-completo, o violare la crittografia quantistica, o clonare perfettamente uno stato quantistico, o violare il principio di indeterminazione di Heisenberg(12). E', in un certo senso, una cascata di effetti, che si mostra assolutamente coerente una con l'altra in una serie di simulazioni che non mostrano, come sottolineano gli stessi autori, che i loop temprali quantistici di Deutsch esistono, ma semplicemente che sono coerenti con la meccanica quantistica.
La teoria di Deutsch(4), d'altra parte, distrugge la correlazione quantistica: questo, come osserva Seth Lloyd, implica che
(...) un viaggiatore nel tempo che emerge da un loop temporale di Deutsch, entra in un universo che non ha nulla a che fare con quello in cui esisterebbe nel futuro(13).
Nella descrizione di Deutsch assume, quindi, un ruolo centrale l'ipotesi dei molti mondi sviluppata nel 1957 da Hugh Everett tra tesi di dottorato e articolo su Reviews of modern physics, che permetterebbe i viaggi nel tempo, preservando il libero arbitrio del viaggiatore, questo perché le modifiche non ne influenzerebbero direttamente la vita passata.
E' proprio per dimostrare la non necessità del multiverso nei viaggi del tempo che Lloyd ha proposto un modello che fa uso del teletrasporto quantistico, realizzando poi delle simulazioni che dimostrano la fattibilità della sua idea.
E' lo stesso Lloyd che, in un certo senso, sembra non prendere troppo sul serio l'intera faccenda:
Non ho idea di quale sia il modello realmente corretto. Probabilmente sono entrambi sbagliati(13).

L'universo rotante di Godel
Una conseguenza della metrica introdotta da Godel nel suo articolo è quella di generare un universo rotante, che ha interessato e continua a interessare molti cosmologi. Ad esempio Joseph Silk(3) ha esaminato nel dettaglio la possibilità di avere realmente un universo tipo quello di Godel, ma questa ipotesi sembrava già nel 1970 piuttosto debole, o quanto meno necessitava di ulteriori studi.
Gli articoli decisamente più interessanti sull'universo rotante di Godel sono però quelli che cercano di visualizzare in qualche modo questo tipo particolare di sistema. Delle prime, interessanti visualizzazioni sono presenti in una guida pratica all'universo di Godel, in particolare riguardanti l'orizzonte di Godel che marca il confine del comportamento casuale così come della regione con cui l'origine può comunicare(7):
Una rappresentazione estremamente interessante, per sintesi grafica, è invece quella proposta da Istvan Nemeti(8) e soci, dove, per esempio nella figura qui sotto, enfatizzano anche la posizione di un osservatore inerziale:
Le visualizzazioni più spettacolari e dettagliate sono, però, quelle proposte dal gruppo di Buser(10), che hanno rappresentato tutta una serie di situazioni differenti che si possono trovare in un universo rotante di Godel. L'articolo è in open access, ma qui vi propongo la visualizzazione di un pianeta in rotazione rispetto a un osservatore esterno:
A puro titolo di curiosità matematica, la rappresentazione matematica moderna della metrica di Godel è data dalla seguente matrice: \[g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} c^2 & 0 & r^2 \frac{c}{\sqrt{2}a} & 0\\ 0 & -\frac{1}{1 + \left( \frac{r}{2a} \right )^2} & 0 & 0\\ r^2 \frac{c}{\sqrt{2}a} & 0 & -r^2 \left ( 1 - \left( \frac{r}{2a} \right )^2 \right ) & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] dove $c$ è la velocità della luce, $a$ un parametro reale detto parametro di Godel, $r$ la coordinata radiale.
Infine vi segnalo un oggetto interattivo sul Wolfram Demonstrations Project, sempre legato all'universo di Godel.
A conclusione di tutto, direi che può essere interessante spulciare in una abbastanza completa timeline della fantascienza dei viaggi nel tempo, segnalandovi anche una (non così) completa storia dei paradossi temporali, di Charlie Jane Anders e Gordon Jackson su io9, dove c'è anche un breve trailer della serie televisiva Fantastic Journey del 1977 che condivide alcuni elementi interessanti con la recente Lost: un'isola misteriosa rapisce persone sparse qua e là nel tempo, intrappolandole senza alcuna possibilità di fuga.
Curiosa, infine, la coincidenza della recente pubblicazione su asimmetrie dell'articolo Cronoviaggi di Francesca Scianitti.
(*) Aggiornamento: un grazie a Spartaco Mencaroni che mi ha ricordato che l'oggetto utilizzato dal professor Johnson non era una mela ma un cubo di ottone.
(1) Mentre scrivevo quella che doveva essere, all'inizio, solo la recensione di Paradosso cosmico di Harness, mi venne in mente che da qualche parte dovevo avere un bel racconto su una macchina del tempo che, all'inizio, pensavo fosse di Asimov. Grazie, però, a Paradossi: si e no di Vittorio Catani, ho potuto recuperare non solo il titolo e l'autore del racconto (letto su un libro di mia madre, una raccolta uscita con una rivista, se non ricordo male), ma anche alcuni ulteriori spunti di approfondimento in quella che, come al solito, è uscita fuori come qualcosa in più di una semplice recensione!
(2) Gödel K. (1949). An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation, Reviews of Modern Physics, 21 (3) 447-450. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/revmodphys.21.447
Sul discorso filosofico di Godel intorno alla relatività, vedere anche A remark about the relationship between relativity theory and idealistic philosophy (pdf)
(3) Silk J. (1970). The Instability of a Rotating Universe, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 147 (1) 13-19. DOI: http://dx.doi.org/10.1093/mnras/147.1.13 (NASA ADS)
(4) Deutsch D. (1991). Quantum mechanics near closed timelike lines, Physical Review D, 44 (10) 3197-3217. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/physrevd.44.3197
(5) Deutsch, D., & Lockwood, M. (1994). The Quantum Physics of Time Travel Scientific American, 270 (3), 68-74 DOI: 10.1038/scientificamerican0394-68 (pdf)
(6) John Lane Bell. (2002). Time and Causation in Gödel's Universe, Transcendent Philosophy 3 (2002) 341–346. 53. (pdf)
(7) Deshdeep Sahdev, Ravishankar Sundararaman & Moninder Singh Modgil (2006). The Gödel Universe: A Practical Travel Guide (arXiv)
(8) Istvan Nemeti, Judit X. Madarasz, Hajnal Andreka & Attila Andai (2008). Visualizing some ideas about Godel-type rotating universes (arXiv)
(9) Bertil Falk (2010). Time Paradoxes in 19th-Century Swedish Science Fiction. Lecture to the Tycho Brahe Society at the Town Library of Lund
(10) Buser M., Kajari E. & Schleich W.P. (2013). Visualization of the Gödel universe, New Journal of Physics, 15 (1) 013063. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/15/1/013063
(11) Sorli A., Fiscaletti D. & Gregl T. (2013). New insights into Gödel's universe without time, Physics Essays, 26 (1) 113-115. DOI: http://dx.doi.org/10.4006/0836-1398-26.1.113 (academia.edu)
(12) Ringbauer M., Broome M.A., Myers C.R., White A.G. & Ralph T.C. (2014). Experimental simulation of closed timelike curves, Nature Communications, 5 DOI: http://dx.doi.org/10.1038/ncomms5145
(13) Lee Billings (2014), Time Travel Simulation Resolves "Grandfather Paradox". Scientific American

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