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martedì 27 luglio 2010

Integrali e polilogaritmi

L'esame preliminare dei privatisti abbinati alle varie classi è sempre obbligo delle scuole assegnate/scelte dai privatisti. Alla fine degli esami di matematica di quest'anno, una collega, la coordinatrice per l'istituto degli insegnanti di matematica, mi propone questo integrale:

Pensa che ti ripensa, utilizzando l'integrazione per parti si arriva ad un certo punto e ci si blocca. Non si prosegue più. Allora ecco che, per lo sfinimento e lo sconforto, utilizzo Wolfram Alpha con le seguenti chiavi di ricerca:
integral (x^3-x)/cos^2 x
Il risultato è quanto di più sorprendente si possa immaginare:

dove Lin (x) è la funzione polilogaritmica, una funzione così definita:

il cui grafico è

Funzione particolare, sulla quale non mi dilungo, ma che presenta una interessante particolarità: per z=1 coincide con la zeta di Riemann, che infatti è presente nello sviluppo in serie dell'integrale di cui sopra intorno a x=0:

Per chiudere vi propongo il grafico della funzione integrale:

Come potrete notare sono presenti sia la parte reale sia la parte immaginaria della funzione, e questo perché una visione completa della funzione sarebbe possibile solo con un grafico in... 4D!

2 commenti:

  1. Sembrava banale... ed invece!!! gli integrali sono sempre una sorpresa!!! Grazie!

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  2. In effetti quando me lo hanno proposto, anche io pensavo fosse banale, poi però ecco la sorpresa: mi blocco! Non riesco ad andare avanti!
    E così cedo ed ecco la scoperta: c'è di mezzo la zeta di Riemann!
    Una sorpresa veramente!

    P.S.: mi sa che devo cambiare le formule, perché altrimenti su Buzz non sono visibili correttamente...

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