Carnevale della Matematica #47

E siamo giunti così alla 47.ma edizione del Carnevale della Matematica, la riunione mensile che, viaggiando di blog in blog come una simpatica farfallina, raccoglie in un unico post quello che i vostri amati e conosciuti blogger (ma anche, a volte, qualche new entry) scrivono ogni mese sulla matematica e intorni. Come da tradizione iniziamo a enumerare le proprietà del 47 (che non sono molte), il 15.mo numero primo della serie (si trova giusto tra 43 e 53).
Restando tra i numeri primi, il 47 fa parte anche di una particolarissima lista, è uno dei pochi numeri primi della retta numerica ad essere anche un numero primo di Eisenstein. Un numero primo di Eisenstein è, un intero, così definito: \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] Questo numero qui, però, per essere primo deve essere irriducibile, ma la sua irriducibilità è da intendersi nel senso della teoria degli anelli e può essere riassunta attraverso queste due semplici regole, che quando verificate fanno del numero un primo di Eisenstein:

1. $z$ è il prodotto tra un numero primo della forma $3n-1$ e una unità dell'anello;
2. $|z|^2 = a^2 − ab + b^2$ è un numero primo.

A causa della complessità di $\omega$, esistono anche primi di Eisenstein non reali.
Il 47, poi, fa parte di altre strane famiglie matematiche: è infatti un numero di Thabit, ovvero della forma: \[3 \cdot 2^{n-1}\] è anche un numero di Carol, così chiamati dal loro scopritore Cletus Emmanuel in omaggio al suo amico Carol G. Kirnon e della forma: \[(2^n - 1)^2 -2\] E infine è un numero di Keith, e vediamo se riesco a spiegarvi cosa sono questi strani numeri.
Prendiamo un numero di due, tre o più ($n$) cifre. Scomponiamolo nelle sue cifre ottenendo i primi due, tre, ..., $n$ numeri della serie. A questo punto facciamo la somma di tutte le cifre, ottenendo il numero tre, quattro, ..., $n+1$ della serie. A questo punto sommiamo nuovamente tra loro tutte le $n$ cifre a partire dalla seconda, ottenendo l'$n+2$.simo numero della serie, quindi sommiamo tutte le cifre a partire dalla terza ottenendo l'$n+3$.simo numero della serie e così via. Ora un numero di Keith è un numero che appartiene alla stessa serie (per altro infinita) che ha generato. E il 47 è un numero di questo genere: \[4, 7, 11 = 7+4, 18 = 11+7, 29 = 18+11, 47 = 29 + 18, \cdots\] Esiste poi una sorta di club (o setta?) matematico, the 47 society, che attribuisce al nostro alcuni poteri mistici, come ad esempio quello di far sì che tutti i numeri siano uguali a... 47!
L'attribuzione è, a tutti gli effetti, la trasformazione in uno scherzo di un esempio di dimostrazione errata proposta da Donald Bentley, professore di matematica della Pomona, ai suoi studenti nel 1964 (la dimostrazione originale forse è descritta in una e-mail scritta da un certo David Hart della Pomona).
Questo interesse per il 47, però, sembra non sia proprio casuale, come osserva Sarah Dolinar, che a un certo punto inizia a farsi una serie di domande:

Why 47? Why not 23 or 39? Is it truly a number integral to the workings of the universe or just a part of Pomona lore? How has it remained such an important part of Pomoniana so long? And why is it so hard to get a simple explanation of its origins?

Non passatele a Giacobbo, che magari ci fa una puntata! Anche perché il 47 è un numero molto utilizzato nelle serie televisive, da Alias a Fringe senza dimenticare la mitica Star Trek, dove i riferimenti al 47 sono diventati non casuali dopo l'arrivo, nella squadra di sceneggiatori di Joe Menosky nel 1990. E visto che siamo in tema mi sembra giusto e doveroso concludere questa carrellata sul 47 con questa citazione di Rick Berman, co-creatore della mitica serie:

47 is 42, corrected for inflation

Oggi, però, continuerò a tediarvi per un altro po', visto che questo 14 marzo è anche il famoso Pi Day, il giorno in cui si è scelto di festeggiare il pi greco, le cui prime tre cifre, 3.14, ricorrono proprio nella data odierna.
Il $\pi$ fa parte della famiglia di quei numeri che hanno fatto impazzire la premiata ditta dei pitagorici, i numeri irrazionali, ovvero quei numeri che non possono essere scritti come rapporto di due numeri reali. L'esistenza di questi numeri, si narra, venne tenuta nascosta il più a lungo possibile dalla setta, ma non servì a nulla, visto che siamo qui a parlarne.
Possiamo definire il nostro $\pi$ come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro, e nessuno di questi due numeri non sarà saranno mai contemporaneamente un intero interi^(*), né esistono due interi che hanno rapporto $\pi$, come già scritto e come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert, mentre è di Ferdinand von Lindemann la dimostrazione (1882), che $\pi$ è trascendentale, ovvero che non può essere ricavato usando le usuali operazioni algebriche, come ad esempio la radice quadrata o l'elevamento a potenza di un altro numero reale.
Nell'antichità il primo a trovare una buona approssimazione per $\pi$ fu Archimede, grazie all'applicazione del metodo di esaustione, un moto per approssimare una figura con una serie di poligoni regolari esterni e interni che si avvicinano sempre più al contorno della figura data. L'operazione è, evidentemente, un limite di poligoni che Archimede applicò alla figura del cerchio ottenendo $\pi = \frac{211875}{67441} = 3.14163...$
Oggi si conoscono 5 trilioni di cifre per uno dei due più famosi numeri trascendentali della matematica. Questo risultato è stato ottenuto da Shigeru Kondo e Alexander Yee: il primo ha modificato un normale computer di casa, il secondo ha realizzato il programma che ha eseguito il calcolo. I due hanno realizzato un sito per riassumere metodo e risultati.
Si scriveva, poc'anzi, che c'è anche un secondo numero trascendentale molto famoso, ed è $e$, il numero di Nepero, che anche in un Carnevale dedicato al $\pi$ entra in gioco grazie a quella che Richard Feynman ha definito come la più notevole formula della matematica, la formula di Eulero: \[e^{i\pi} + 1 =0\] Con questa formula iniziamo ad addentrarci tra i contributi inviati per questo mese dai baldi carnevalisti, iniziando con questa galleria di formule dedicate al $\pi$ ad opera dell bravissimo Leonardo Petrillo, che ci cucina anche una portata principale, come l'ha ben definita, con Frattali e Musica:

L'articolo parte da una descrizione delle proprietà dei frattali, con espliciti riferimenti alla famosa opera di Benoît Mandelbrot Gli oggetti frattali, per arrivare al nocciolo della questione: i frattali hanno qualche relazione con la (buona) musica?

Leonardo ha praticamente esaminato un recente articolo di un team di ricercatori guidati dal grandissimo Daniel Levitin, ricercatore ma anche produttore musicale di alcuni tra i più famosi successi della musica anni Novanta (oltre ad essere anche un grandissimo divulgatore).

Uno degli storici contributori al Carnevale è, invece, Flavio Ubaldini, in arte Dioniso, che dopo aver un po' filosofeggiato su La psicologia del numero decisamente fa sul serio con Tutto è numero, quarta parte di una serie di articoli di storia della matematica dedicati a Pitagora e alla sua scuola/setta. In questo caso ci racconta della storia della loro scoperta più grande, che non anticipo per non togliervi il gusto della scoperta e di una lettura come sempre godibile.
Passiamo però a un altro ambito, prendendoci una piccola pausa sul tema portante dell'edizione, il $\pi$, e andiamo a finire nella teoria dei giochi, in particolare in un particolare dilemma (o paradosso, se lo vediamo dal punto di vista del senso comune e dell'intuizione) proposto nel 1994 dall'economista indiano Kaushik Basu. Di questo interessante problema scrive Martino Benzi, new entry tra i carnevalisti che con Il dilemma del viaggiatore prova ad addentrarsi nel magico (e a volte un po' folle) mondo della matematica!
Dopo l'intermezzo nella moderna teoria dei giochi, ritorniamo ai numeri e alla matematica del tempo che fu, anche se vista con un occhio moderno grazie a Giuseppe Lipari, che molti probabilmente conosceranno soprattutto come docente di informatica, e che da Ok, panico!, blog informatico che tiene insieme a un altro tristo figuro, Juhan van Juhan, ci manda ben due interessanti e informatici contributi:

Tutti sappiamo cos'è un numero è primo, e molti conosceranno il crivello di Eratostene, un metodo antichissimo ma ancora valido per calcolcare una sequenza di numeri primi. Il blog di informatica "Ok, panico!" questo mese ci mostra come scrivere un semplice programmino per testare la primalità tramite il crivello di Eratostene, utilizzando Haskell, un linguaggio di programmazione piuttosto poco conosciuto ispirato alla notazione matematica. Ecco la prima parte, e la seconda parte.

Il buon Juhan, però, oltre al blog gestito insieme con Giuseppe, ha anche messo in piedi un secondo blog (forse vuole sfidarmi?), Al Tamburo Riparato, che è cresciuto molto velocemente nella stima di blogger e lettori sull'orbe terracqueo italiano e che vede come coautrice Bruna laperfidanera, seconda new entry dell'edizione, che scrive, in occasione di questo particolare Carnevale, un contributo che, messo qui, diventa il massimo dell'autoreferenzialità: Il Carnevale del Pi Day.

E arriviamo al turno di Roberto Zanasi, meglio noto come lo Zar che questo mese partecipa con due contributi. Iniziamo leggendo Quanto sono grandi i buchi piccoli quanto si vuole, ovvero: dell'utilità dell'ultimo teorema di Fermat

dove si scopre una strana proprietà della circonferenza (ed ecco il pigreco, se vogliamo...) non condivisa dalle altre curve della forma $x^n + y^n = 1$.

E poi ecco un ripescaggio così antico che non è mai stato pubblicato in nessun carnevale, sul problema dell'ago di Buffon

ovvero: come calcolare il valore di pi greco lanciando un ago sul pavimento (o, anche, dei sassi in uno stagno).

E fin qui la parte facile del Carnevale è andata, ma prima o poi arriva, quella parte del lavoro che tocca sempre fare, che c'è qualcuno che prima o poi deve pur fare, quella parte rude che arriva puntuale quasi ad ogni Carnevale, la presentazione di un trio di tre moschettieri senza D'Artagnan (che così almeno ha senso chiamarli tre moschettieri) meglio noto come Rudi Mathematici!
Come ogni mese si sono divertiti, non so se più a scrivere i post o le presentazioni dei post o la loro mensile rivista giunta ormai al 158.mo numero (scaricatelo!), però una cosa è certa: vale sempre la pena leggerli. Ecco i loro contributi alla mensile causa matematica (sono fuori tema, e a questo punto un break ci può stare!):

Un pezzo sulla distribuzione di Benford, che come ha fatto notare Martino che citava il buon .mau. che citava il Guardian, si è rivelato inaspettatamente d'attualità con le elezioni in Russia: La distribuzione di Benford

E poi un doppio Sam Loyd, prima con Bruttezza classica e poi con la soluzione del problema di Febbraio pubblicato su Le Scienze:

(non c'è niente da fare, i nostri lettori sono sempre molto più bravi di noi...)

Altrimenti come potrebbero essere lettori dei Rudi Mathematici? Più serio e posato, invece, è il gran capo del Carnevale, il wikipediano Maurizio Codogno, il .mau. citato poc'anzi (e non a caso, come tra poco potrete leggere) dai nostri baldi, che come ogni mese arricchisce il carnevale con quello che pubblica alternativamente sui suoi molti blog (e da lui, per ora, ho solo da imparare!):
Iniziamo il come al solito ricco elenco con le Notiziole:

• Il mondo di Escher - Quando l'arte si sposa alla matematica
• The Big, Big, Big Book of Brainteasers - problemi colorati
• 1089 e altri numeri magici - Vari temi matematici [questo apparirà sabato]
• Insonnia - Attenzione: pericolo campane!
• Equa suddivisione - Suddividete la figura in tre parti uguali
• Triangoli - Ah, questi spammer nigeriani...
• Quadrato più cubo - un po' di numeri geometrici in azione

Per Il Post, invece:

• Quando i matematici sbagliano - Perché preoccuparsi delle smentite in fisica? Persino in matematica una dimostrazione non è sempre corretta.
• La legge di Benford e il voto in Russia - Il voto di ieri in Russia può essere analizzato per scoprire statisticamente brogli elettorali? Forse, ma non certo con un test grossolano come la legge di Benford.

E infine un post su Voices, il corporate blog di Telecom Italia, con un post dedicato a Il giorno del pi greco

come possiamo non ricordare la ricorrenza che segna il giorno di pubblicazione del Carnevale della Matematica?

Un altro carico di buoni post matematici ci arriva dalla sempre precisa Annarita Ruberto, con la quale a volte ci si ritrova a discutere di fisica e matematica via e-mail, e che sui suoi blog propone sempre spunti e approfondimenti interessanti, come quelli scritti per questa edizione del Carnevale:

• Gli Orologi Pazzi Di Carroll, tratto dal libro AH! CI SONO di Martin Gardner.
• Inverso Del Teorema Di Pitagora Con Applet Interattivo
• Poligoni Convessi, Concavi, Regolari Con Applet Dinamico:
  Una applicazione didattica sulle caratteristiche generali dei poligoni.
• Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E Il Teorema Di Pitagora:
  Si tratta dell'arcaico problema dello scivolamento del palo o della canna, di cui ci parla Aldo Bonet nel suo splendido lavoro "Genesi del teorema di Pitagora", intimamente connesso con il Teorema di Pitagora. Marco, ha realizzato, su suggerimento di Aldo, un applet interattivo con GeoGebra su questo problema.
• Scivolamento Del Palo Con L'Integrazione Del Diagramma Di Argilla è il seguito del post precedente, con l'integrazione del diagramma di argilla nell'applet sul problema dello scivolamento del palo.

A completare questi ultimi due contributi ci pensa direttamente Marco Cameriero con Matematica d'argilla: generalizzazione del diagramma quadratico, che potete leggere anche su Matem@ticamente dove Annarita lo presenta così:

"Matematica D’argilla: Generalizzazione Del Diagramma Quadratico", ovvero "L’anello mancante dei mattoni poligonali regolari" è un piccolo gioiello firmato Marco Cameriero, che questa volta si confronta con la storia della matematica attraverso il favoloso e millenario diagramma di argilla a modulo quadrato di Aldo Bonet, il risultato di una annosa e poderosa ricerca storico-matematica di eccezionale valore condotta da Aldo.
Desta grande emozione constatare come uno studente 16enne sia riuscito a curarne, Aldo Bonet galeotto, una trasposizione e generalizzazione in chiave tecnologica, grazie alla interattività e dinamicità del software GeoGebra e alla preziosa consulenza storica di Aldo.

Annarita lo ha definito un piccolo gioiello, e io non posso che essere d'accordo: personalmente lo considero il contributo del Carnevale, in una edizione che, spero conveniate con me, è veramente ricca come poche di alta qualità!
E facciamo, ora, un break grafico con il poliedrico Paolo Pascucci, che innanzitutto ci propone una infografica che raccoglie un po' di informazioni e curiosità sul pi greco e poi un video realizzato da Tom Apostol del Caltech sempre dedicato al pi greco.
Dopo aver dato un'occhiata all'infografica e al video, tornate qui, che la parte finale del Carnevale ci attende (noi non ci muoviamo certo!).

Bello, sintetico, chiarissimo, un modo semplice di spiegare un concetto, il pi greco, che a partire dalla formula di Eulero che citavo all'inizio del nostro journey into numberland (passatemi i supereroici riferimenti) collega la matematica fino a Riemann e oltre (!). Tutto questo e altro ancora è I ponti di Eulero di Paolo Alessandrini: capolavoro!
E parlando di capolavori, ecco arrivare il turno di uno che se ne intende, di capolavori, non solo perché li ama, ma anche perché li scrive! Marco Fulvio Barozzi, in arte Popinga, come il mitico Uomo che amava guardare passare i treni di George Simenon, che questo mese ha letteralmente superato se stesso:

• Poesia in forma di grafo
  Un'intersezione tra teoria dei grafi e poesia, applicata oulipianamente all'opera D'Autunno dello scrittore austriaco Georg Trakl.
• L'Archimede di Campanile
  Una riflessione biografica su Archimede che il grande scrittore umoristico Achille Campanile pubblicò su Il Tempo di Roma.
• I matematici-poeti dell'epoca vittoriana
  Molti matematici e fisici del periodo vittoriano erano poeti dilettanti, ma il loro diletto si fondava su solide basi culturali (e persino su una vera e propria erudizione) e si manifestò con opere di buon livello. Era infatti tra loro condiviso il pensiero che la ricerca matematica richiede un alto grado di immaginazione, affine all’istinto creativo del poeta. Nell’articolo si portano esempi da Maxwell, De Morgan, Sylvester e Clifford.
• Nella spirale di Eulero
  Una mia poesia matematica ispirata dalla clotoide, anche nella struttura.
• The Mathematician in Love
  La rassegna sui matematici-poeti dell'epoca vittoriana prosegue con una graziosa e spiritosa opera del fisico e ingegnere scozzese Macquorn Rankine.
• Chi ha ucciso il Duca di Densmore?
  Un problema ispirato dal racconto poliziesco Qui a tué le Duc de Densmore? del matematico Claude Berge, membro fondatore dell'OuLiPo. In questo adattamento, il protagonista è Sherlock Holmes e, per individuare il colpevole, è necessario l'utilizzo di un grafo degli intervalli.

Lasciato, però, Holmes alla risoluzione del suo ennesimo caso, eccoci arrivare al gruppo più famoso di matematici che bazzica i lidi elettronici di internet. I lettori fedeli sanno che ormai da diversi mesi pubblico, con mio grande piacere, la loro newsletter, quindi potete immaginare quale sia il piacere di ospitarli per questa preziosa edizione del Carnevale. E' infatti arrivato il turno dei MaddMaths!:

• Alfabeto Matematico: I come Irrazionale di Corrado Mascia
  Pensare che proprio una disciplina rigorosamente logica e cerebrale come la matematica possa aver partorito, perfino con un certo compiacimento, il concetto di irrazionale sembra un vero paradosso.
• "Teatro e Scienza"... e matematica, intervista a Maria Rosa Menzio di Maya Briani
  Maria Rosa Menzio è direttore artistico da diversi anni della rassegna "Teatro e Scienza" di Torino. La matematica è la base della sua attuale atività e della sua vita, "il 'fiato' matematico che occorre per dosare realtà e fantasia..."
• Sulla seconda prova scritta di Matematica del Liceo Scientifico... quali cambiamenti? di Erasmo Modica
  Per quale ragione l'Analisi Matematica 1 deve essere considerata la naturale evoluzione del percorso liceale e non ci si debba dedicare alla Geometria o all'Algebra astratta? Qual è la naturale evoluzione del percorso liceale di uno studente che sceglie di frequentare un Corso di Laurea umanistico? È corretto formare delle calcolatrici? Oppure delle menti pensanti?

Non è finita qui, perché dalle colonne di Dueallamenouno, il suo blog, il gran capo dei MaddMaths!, il grande Roberto Natalini, ci propone le sue due once di matematica:

• Le mille e una faccia dell'idea di spazio
  Cos'è lo spazio per un matematico? Parafrasando Sant'Agostino: "Se non me lo chiedi lo so; ma se invece mi chiedi che cosa sia lo spazio, non so rispondere," o almeno questo è quello che avrebbe potuto rispondere un matematico fino a circa 200 anni fa.
• #DFW50: un pallido inverno
  Ancora su David Foster Wallace, il punto di vista, l'inversione matematica e una lettura collettiva di un romanzo postumo.

Ecco, in particolare quest'ultimo mi permetto di consigliarlo caldamente, di leggerselo per primo quasi, che la citazione con cui parte, nel caso di DFW, è una perla di saggezza, un piccolo capolavoro all'interno di un omaggio a un grande scrittore ma anche alla matematica.

Come è però giusto che sia, nello spazio di un battito di ciglia si può passare da un omaggio al passato a un pensiero al futuro, ed è quello che ci apprestiamo a fare insieme con Rosalba Cocco e il suo Scoprire il Pi greco con i bambini, una delle tante perle che questo Carnevale ci/vi ha regalato:

Come sempre, non potendo fare grandi discorsi teorici, l'età dei bambini della Primaria ci vincola a dimostrazioni pratiche, che consentono la comprensione e l'apprendimento di concetti. Il concetto di costante, così legato al Pi greco è uno di questi. Considerato che in classe quinta si impara a calcolare l'area e la circonferenza del cerchio,una dimostrazione può aiutare a capire come gli uomini sono arrivati a scoprire il Pi greco.

E sempre con i bambini lavora Cristina Sperlari, che nell'ultimo periodo si è dedicata all'organizzazione e realizzazione della Festa della Matematica, una bella iniziativa che si è tenuta il 10 marzo alla Biblioteca di Cremona, la città di Cristina. Per l'occasione la giovane maestra ha proposto

molti giochi, enigmi, sfide a gruppi e attività divertenti per prepararsi a festeggiare la Matematica anche a scuola. Ho anche realizzato alcuni interventi per le classi delle scuole primarie della provincia.

D'altra parte oggi, Pi Day, è il giorno adatto per festeggiare la matematica e molte scuole, in particolare a Cremona, per restare alla città di Cristina, aderiranno all'iniziativa, e da qui l'idea di realizzare un post dedicato con

alcuni piccoli spunti per poter giocare con la Matematica alla scuola primaria, che derivano un po' dagli stessi giochi che ho proposto sabato scorso in Biblioteca, un po' dalle esperienze raccolte durante lo scorso anno nella mia vecchia scuola.

E quindi che aspettate? Andate subito a ispirarvi sulle colonne di Festa della Matematica - 14 marzo 2012!
E ultimo (anzi, quasi ultimo, che l'ultimo posto spetta al sottoscritto) il musicologo del gruppo, Michele Daniele, responsabile della colonna sonora del Carnevale, che spiega passo passo nel suo Pi Day, puntata speciale del Canzondario, una rubrica con la quale Daniele propone associazioni musicali per ogni giorno dell'anno. E per questo 14 marzo vi tocca addirittura una playlist (che avete ascoltato, vero? Altrimenti vi mando contro Batman!).
E mentre, si spera, la playlist di Michele sta giungendo alle sue ultime note (o magari mentre state riascoltando la vostra canzone preferita tra quelle proposte dal nostro math dj), eccovi qui, mettetevi comodi, che la giornata non è proprio finita, che solo perché i Rudi per una volta non hanno compleanni non vuol dire che non vi dovete sorbire una biografia (per modo di dire) matematica (si spera), quella del geniale (o folle?) Georg Cantor, un uomo che è andato oltre i trascendentali, toccando addirittura i transfiniti (e oltre!).
...
Credevate che tutto finisse così vero? E invece no, perché c'è un ultimo evento da ricordare associato a questo 14 marzo, ed è il compleanno di Albert Einstein, un tipo abbastanza famoso da meritarsi l'ultimo contributo di questo Carnevale, un sentito Happy Birthday, Mister Einstein! scritto per l'occasione da Annarita!

E così siamo arrivati, questa volta sul serio, al termine dell'avventura, e mentre ci prepariamo mentalmente alla prossima edizione, che sarà ospitata dai MaddMaths!, ecco mi sembrava giusto concludere con l'Opera n.47 di Stefano Bollani, eseguita in questo video insieme con la Banda Osiris.
Buon divertimento e buone letture a tutti!

Il $\pi$-sudoku è tratto da Brainfreeze Puzzles. La vignetta dei dinosauri sul Pi day è tratta dalla serie Qwantz e l'ho scovata sul sito The world of $\pi$. La foto di Einstein, infine, è tratta dal tumblr likeaphysicist.

(*) Update delle 15:55: Un rigraziamento a Flavio Ubaldini per avermi fatto notare l'imprecisione nel passaggio, modificato dopo la pubblicazione iniziale.