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lunedì 12 settembre 2016

Urschel: un grande matematico sui campi da football

La comunità matemtica è una comunità che rispetto molto. Ho il profondo desiderio di essere accetato in essa, e accettato come un membro legittimo.(1)

John Urschel, foto di Shawn Hubbard
John Urschel è un giocatore di football americano, un ragazzo canadese imponente che gioca per i Baltimore Ravens nella National Football League, dove ha esordito nel 2014 giocando nel ruolo di guardia. Urschel, però, ha anche qualcosa in comune con un quarterback texano, Frank Ryan(1), che nel 1965 ottenne il Ph.D. in matematica, pubblicando peraltro un paio di articoli sulle funzioni olomorfe, e insegnando matematica alla Rice. Avrete già immaginato che Urschel ha intrapreso il duro cammino di un Ph.D. in matematica, scegliendo il MIT come college, dove si sta interessando di teoria spettrale dei grafi, algebra lineare numerica e machine learning. Urschel gioca con il numero 64, tra le tante cose numero pari, difettivo, numero colombiano e, soprattutto, numero potente, come dovrebbe essere un giocatore di football americano. E’ anche un appassionato giocatore di scacchi (vedi ad esempio la partita sua e di Danny Rensch contro il mondo!)
Il problema dei tre corpi
Tradizionalmente il problema dei tre corpi venne formulato per la prima volta nel 1687 da Isaac Newton sui Principia (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica): dopo aver definito il problema del movimento di tre oggetti massivi mutualmente influenzati dai rispettivi campi gravitazionali, applicò la sua teoria al moto della Luna sotto l'influenza della Terra e del Sole.
L'importanza pratica del problema sorse quando, con lo sviluppo della navigazione, diventava sempre più importante determinare in maniera precisa la longitudine. Utilizzare la posizione della Luna per determinare questo dato, come ad esempio fece Amerigo Vespucci nei suoi viaggi in Brasile, risultava poco accurato, proprio a causa delle perturbazioni gravitazionali. Il problema pratico venne però risolto con l'introduzione del cronometro marino di John Harrison. I matematici, però, provarono a risolvere il problema: in particolare i due rivali Jean d'Alembert e Alexis Clairaut provarono a generalizzare l'approccio utilizzando una serie di equazioni differenziali da risolvere con approssimazioni successive. I risultati vennero presentati alla Académie Royale des Sciences nel 1747(2).
Anche Leonard Euler si interessò al problema (ed è lecito chiedersi di cosa non si interessò Euler!). Il sistema considerato da quest'ultimo è costituito da una particella che si muove sotto l'influenza di due attrattori che la influenzano con un potenziale centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza, come la legge di gravitazione di Newton o la forza di Coulomb: questa, di fatto, è una generalizzazione che permette, ad esempio, l'applicazione dei risultati anche al caso di un elettrone di legame tra due ioni oltre che al più ovvio caso gravitazionale. In più la forza dei due attrattori non era identica, quindi i casi di masse o cariche differenti.
Il problema così formulato possedeva una soluzione esatta come mostrato nel 1760 dal matematico svizzero(3).
Successivamente prima Joseph Louis Lagrange risolse un problema più generale(4) in un sistema di vettori non collineari, quindi Carl Gustav Jacobi mostrò che il problema poteva essere ridotto al caso planare(5).
Nel 1887 i matematici Heinrich Bruns ed Henri Poincaré(6) mostrarono che non era possibile determinare una soluzione analitica generale per la soluzione del problema, che dunque non poteva essere risolto se non per casi particolari.
Nel 2008 il matematico irlandese Diarmuid Ó Mathúna diede alle stampe il poderoso volume Integrable Systems in Celestial Mechanics (sci-hub), edito dalla Birkhauser, dove fornì una soluzione per il caso con due centri fissi in due e in tre dimensioni.
Nel 2011 Alessandra Celletti, Letizia Stefanelli, Elena Lega, Claude Froeschlé (sci-hub), partendo dalla formulazione di Euler hanno risolto numericamente il problema mostrando il comportamento caotico del sistema sia con tre sia con quattro corpi.

La lavagna di Urschel alMit - via twitter
Infine nel 2014, insieme con Joseph Galante, John Urschel ha studiato le instabilità all'interno del sistema a tre corpi costituito da Giove, Sole e un dato asteroide(7), studiato nella sua configurazione planare. Per svolgere i calcoli, partendo da un’hamiltoniana il più generale possibile, si introduce l’approssimazione di massa nulla per l’asteroide. Come approssimazione può essere considerata decisamente sensata: la maggior parte degli asteroidi presenti nel sistema solare si trovano nella fascia compresa tra Marte e Giove (e non a caso viene mostrato come l'orbita di un asteroide potrebbe incrociare quella di Marte), dove i più pesanti sono Ceres, Vesta, Pallas e Hygiea, mentre la massa totale di tutti gli asteroidi (tra 1.1 e 1.9 milioni) è stimata all’incirca come il 4% della massa della Luna, che a sua volta è circa 1/100 della massa della Terra, quindi potete immaginare quanto sia trascurabile la massa dell'asteroide medio nel momento in cui dividiamo ulteriormente per un milione.
Considerando, allora, gli asteroidi più interni (quelli più vicini al Sole), il principale risultato di Urschel e Galante è la scoperta di due limiti di eccentricità entro cui si evolve l’orbita di un asteroide, andando dal valore inferiore a quello superiore: in particolare dato un asteroide con eccentricità pari al valore minimo, questa si evolverà fino a raggiungere il valore massimo.
L'idea del lavoro nacque grazie a Vadim Kaloshin(1), professore di calcolo di Urschel preso la Penn State, che gli consigliò una serie di letture sui sistemi dinamici, utili ovviamente per la sua attività da football player.
Il football e la matematica dei grafi
La storia è abbastanza nota: la teoria dei grafi inizia con il famoso problema dei sette ponti di Konigsberg proposto (come sempre!) dal matematico svizzero Euler.
La base matematica della teoria dei grafi è l'equazione di Euler, che abbiamo già incontrato in precedenza: \[F - E + V = 2\] dove $F$ è il numero di facce (nel caso di grafi planari sono le regioni limitate dagli spigoli), $E$ il numero degli spigoli, $V$ il numero dei vertici.
Per studiare in maniera ancora più eficace i grafi, i matematici hanno sviluppato l'operatore discreto di Laplace, detto anche matrice laplaciana(8), che è l'equivalente del laplaciano, che ad esempio in fisica viene utilizzato in elettrostatica all'interno del teorema di Gauss sulla distribuzione della carica attraverso una superficie. A partire dal lavoro di Miroslav Fiedler(9) sulla teoria delle matrici applicata alla teoria dei grafi, Urschel insieme con Ludmil Zikatanov(10) studia il laplaciano di un grafo pesato e con nodi finiti \[\Delta f(x) = \sum w(x,y) - \sum w(x,y) f(y)\] dove $f(x)$, $f(y)$ sono le funzioni dei nodi $x$, $y$ mentre $w(x,y)$ è il peso del collegamento tra i nodi.
Le autofunzioni del laplaciano possono essere suddivise in due gruppi(11), quelle negative e quelle nonnegative. I due matematici hanno scoperto che i due sottografi così ottenuti risultano connessi, proponendo un’applicazione alla stagione 2015 del campionato NFL(1)!
Sempre sull'argomento Urschel ha anche scritto un articolo precedente(12) e un lavoro sulla disgregazione dei grafi(13) con applicazione sul calcolo in parallelo.
  1. Miller, S. (2016). "I plan to be a great mathematician": AN NFL Lineman Shows He's One of Us Notices of the American Mathematical Society, 63 (02) DOI: 10.1090/noti1331
  2. Clairaut con un articolo dal titolo Sul sistema del Mondo, in accordo con i principi della Gravitazione Universale e d’Alembert con Metodo generale per determinare le orbite e i movimenti di tutti i pianeti, tenendo conto delle loro azioni reciproche.
  3. Euler L, Nov. Comm. Acad. Imp. Petropolitanae, 10, pp. 207–242, 11, pp. 152–184; Mémoires de l’Acad. de Berlin, 11, 228–249.
  4. J.L. Lagrange Essai sur le problème des trois corps, 1772, Oeuvres tome 6
  5. Chenciner, A. (2007). Three body problem Scholarpedia, 2 (10) DOI: 10.4249/scholarpedia.2111
  6. H. Poincaré Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Gauthier-Villars (1892, 1893, 1899) e Leçons de mécanique céleste, Gauthier-Villars (1905 1907, 1910)
  7. Urschel, J., & Galante, J. (2012). Instabilities in the Sun–Jupiter–Asteroid three body problem Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 115 (3), 233-259 DOI: 10.1007/s10569-012-9461-8 (pdf | sci-hub)
  8. Spielman, D. (2016). Graphs, Vectors, and Matrices Notices of the American Mathematical Society, 11-13 DOI: 10.1090/noti1306
    pdf dell'omonima Willard Gibbs Lecture
  9. Fiedler, Miroslav (1975), A property of eigenvectors of nonnegative symmetric matrices and its application to graph theory (English). Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 25 , issue 4, pp. 619-633 dmlcz/101357
  10. Urschel, J., & Zikatanov, L. (2014). Spectral bisection of graphs and connectedness Linear Algebra and its Applications, 449, 1-16 DOI: 10.1016/j.laa.2014.02.007 (pdf | sci-hub)
  11. Urschel, J., & Zikatanov, L. (2016). On the maximal error of spectral approximation of graph bisection Linear and Multilinear Algebra, 64 (10), 1972-1979 DOI: 10.1080/03081087.2015.1133557 (arXiv)
  12. Urschel, J., Xu, J., & Zikatanov, L. (2015). A Cascadic Multigrid Algorithm for Computing the Fiedler Vector of Graph Laplacians Journal of Computational Mathematics, 33 (2), 209-226 DOI: 10.4208/jcm.1412-m2014-0041 (arXiv)
  13. Xiaozhe Hu, John C. Urschel, & Ludmil T. Zikatanov. (2016) On the Approximation of Laplacian Eigenvalues in Graph Disaggregation. (arXiv)

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