Le grandi domande della vita: speciale Ridi Topolino

Puntata uscita con un giorno di ritardo: la lettura prima di tutto. E poi dovevo anche smettere di ridere!

---

Ritorna in edicola la mitica Ridi Topolino, con una raccolta speciale di alcune delle storie inedite uscite sul bimestrale e realizzate da Tito Faraci e Giuseppe Ferrario. Se Panini ci delizierà ancora una volta con questa rivista, solo il tempo ce lo dirà, ma è certo che è stata di ispirazione non solo per la carriera fumettistica di un tale di nome Sio, ma anche questa puntata de Le grandi domande della vita (e forse in qualche angolino del mio cervello anche della rubrica stessa!).

1+1

da Ridi Topolino #3

Come abiamo già visto, ci sono volute 300 e più pagine a Bertrand Russell e Alfred North Whitehead per dimostrare che $1+1=2$. Questo è un esercizio abbastanza complicato quando si vuole scendere nelle profondità del mare matematico, oppure ecessivamente banale quando, alla domanda, si fornisce la risposta, perché $2$ è definito come $1+1$. Una dimostrazione, che forse non avrà la completezza formale di quela di Russell, ma che è anche didatticamente utile, può tranquillamente utilizzare i postulati del matematico italiano Giuseppe Peano⁽¹⁾:

1. $1$ è un numero appartenente a $N$
2. Se $x$ è un numero in $N$, allora il suo sucessore $x'$ è in $N$
3. Non esiste alcun $x$ tale che $x' =1$
4. Se $x$ non è $1$, allora esiste un $y$ in $N$ tale che $y' = x$
5. Se $S$ è un sotoinsieme di $N$, $1$ è in $S$, e l’implicazione $X \in S \Rightarrow x' \in S$ è vera, allora $S=N$

Allora si definisce ricorsivamente la somma:

Siano $a$, $b \in N$. Se $b=1$, allora, utilizzando i postulati 1 e 2, $a+b = a'$. Se $b$ è diverso da $1$, alora sia $c' = b$, con $c \in N$ (dal postulato 4), e per definizione $a+b=(a+c)'$.

llora devi definire $2 = 1'$.
Dalla sua definizione e dai postulati 1 e 2, segue che $2 \in N$.
Possiamo allora dimostrare che $1+1=2$:

Prendiamo la definizione della somma e applichiamola al caso in cui $a=b=1$: \[1+1=1'=2\]

Esiste una formulazione differente dei postulati di Peano che sostituisce l'$1$ con lo $0$ nei postulati 1, 3, 4, 5. Questo costringe a modificare la definizione della somma:

Siano $a$, $b \in N$. Se $b=0$, allora per definizione $a+b = a$. Se $b$ è diverso da $0$, allora sia $c' = b$, con $c \in N$, e per definizione $a+b=(a+c)'$.

Quindi si definiscono $1 = 0'$, e $2 = 1'$. La dimostrazione del teorema sulla somma delle due unità diventa leggermente differente:

Utilizzando la seconda parte della definizione della somma si ottiene: \[1+1=(1+0)'\] e utilizzando la prima parte nelle parentesi si ottiene: \[1+1=(1)'=1'=2\]

Urschel: un grande matematico sui campi da football

La comunità matemtica è una comunità che rispetto molto. Ho il profondo desiderio di essere accetato in essa, e accettato come un membro legittimo.⁽¹⁾

John Urschel, foto di Shawn Hubbard

John Urschel è un giocatore di football americano, un ragazzo canadese imponente che gioca per i Baltimore Ravens nella National Football League, dove ha esordito nel 2014 giocando nel ruolo di guardia. Urschel, però, ha anche qualcosa in comune con un quarterback texano, Frank Ryan⁽¹⁾, che nel 1965 ottenne il Ph.D. in matematica, pubblicando peraltro un paio di articoli sulle funzioni olomorfe, e insegnando matematica alla Rice. Avrete già immaginato che Urschel ha intrapreso il duro cammino di un Ph.D. in matematica, scegliendo il MIT come college, dove si sta interessando di teoria spettrale dei grafi, algebra lineare numerica e machine learning. Urschel gioca con il numero 64, tra le tante cose numero pari, difettivo, numero colombiano e, soprattutto, numero potente, come dovrebbe essere un giocatore di football americano. E’ anche un appassionato giocatore di scacchi (vedi ad esempio la partita sua e di Danny Rensch contro il mondo!)

I rompicapi di Alice: La condensazione di Carroll

Un sistema lineare è un insieme (sistema) di due o più equazioni lineari in due o più variabili che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Esso ha una sua interpretazione geometrica molto semplice, sia in uno spazio a due dimensioni (sistema di due equazioni in due incognite) sia in uno a tre dimensioni (sistema di tre equazioni in tre incognite).
Nel primo caso risolvere un sistema lineare coincide con l'intersezione tra due rette nel piano cartesiano, mentre nel secondo caso con l'intersezione di tre piani nello spazio euclideo.
Per risolvere i sistemi lineari si possono adottare vari metodi risolutivi: si va dai classici confronto e sostituzione, che possono essere utilizzati anche per i sistemi non-lineari, alla riduzione e ai metodi di Gauss e Cramer, tutti e tre specifici per i sistemi lineari. In particolare l'ultimo è noto anche come metodo dei determinanti, e venne sviluppato nella metà del 1700 indipendentemente da Gabriel Cramer, matematico francese, e da Colin Maclaurin, matematico scozzese. Il metodo di Gauss e quello di Cramer, ad ogni modo, condividono un concetto fondamentale per la loro comprensione, quello di matrice.
Per matrice si intende una griglia di numeri che in genere viene utilizzata per rappresentare le trasformazioni, di simmetria e non, negli spazi vettoriali. All'interno di un sistema lineare è possibile costruire la matrice dei coefficienti delle variabili, chiamata, per esempio, $A$: \[A x = b\] dove $x$ è il vettore colonna delle variabili e $b$ il vettore colonna dei termini noti.
Una volta costruita questa si può capire se un sistema lineare è risolvibile semplicemente calcolando la caratteristica nota come determinante, $\det (A)$: quando questo risulta non nullo, la matrice è invertibile e quindi il sistema possiede un'unica soluzione. A questo punto si può utilizzare il metodo di Cramer, secondo cui il valore di ciascuna variabile è dato dalla formula: \[x_i = \frac{\det (A_i)}{\det A}\] dove la matrice $n \times n$ ($n$ righe, $n$ colonne) $A_i$ è costruita sostituendo in $A$ l'i-sima colonna con quella dei termini noti.

E' qui che si introduce il metodo della condensazione dei determinanti, elaborato dal reverendo Charles Dodgson, meglio noto come Lewis Carroll.
Carroll, come spesso succedeva quando si trovava di fronte a un problema di calcolo, immaginava soluzioni alternative e possibilmente più semplici rispetto alle strade usualmente battute, e il caso del calcolo di determinanti di matrici ricche di elementi (tipo $16 \times 16$ o $25 \times 25$ o anche più grandi) rientrava sicuramente tra quelli interessanti per il matematico-scrittore. La condensazione di Dodgson⁽¹⁾ (o di Carroll!) si concentra sulla ricerca dei singoli blocchi in cui è possibile partizionare la matrice e si basa su quattro regole:

1) Sistemare il dato blocco, se necessario, tale che nessuna cifra compaia al suo interno (qui per "interno" Carroll intende il blocco che rimane quando le prime e le ultime riga e colonna sono cancellate). Ciò potrebbe essere fatto con la trasposizione delle righe o delle colonne, o aggiungendo a certe righe i termini di altre righe moltiplicati per certi valori.
2) Calcolare il determinante di ogni minore costituito da quattro termini adiacenti. Questi valori costituiranno un secondo blocco, formato da $(n-1)$ righe ed $(n-1)$ colonne.
3) Condensare questo secondo blocco nella stessa maniera, dividendo ogni termine, quando trovato, per il termine corrispondente nell'interno del primo blocco.
4) Ripetere questo processo tante volte quanto necessario, finché il blocco è condensato a un singolo termine, che sarà il valore richiesto.⁽¹⁾