Matematica, lezione 22: L'algebra

Che posso dire? Quando nella recensione dedicata a Le trasformazioni geometriche scrivevo che mancava la definizione di gruppo, ero assolutamente certo che tale definizione sarebbe arrivata nel volumetto successico, il 22.mo, ovvero L'algebra di Paolo Gangemi. E nonostante di teoria dei gruppi e di algebra astratta, che poi è il tema del volume, come fisico ne ho utilizzato solo una parte, devo dire che le cose che ho imparato o perfezionato non erano così impossibili da comprendere e questo grazie agli studi di topologia e teoria dei gruppi portati avanti per il dottorato. Attenzione: ciò non vuol dire che per seguire il testo bisogna avere un dottorato in matematica o fisica, ma che, come consiglia lo stesso Gangemi, prima di affrontare lo step successivo è sempre bene avere ben chiari i passaggi fin lì assimilati.
E per quanto la materia sia astratta e quindi non banalissima nella comprensione, essa viene raccontata sì con le classiche definizioni e teoremi, ma soprattutto con una serie di esempi che, proprio per via dell'astrazione dell'argomento, risultano alla fine il modo migliore di affrontare l'algebra.

Giuseppe Peano e il tacchino di Bertrand Russell

Un giorno il logico e matematico Bertrand Russell ideò la seguente storiella:

Fin dal primo giorno questo tacchino osservò che, nell'allevamento in cui era stato portato, gli veniva dato il cibo alle 9 del mattino. E da buon induttivista non fu precipitoso nel trarre conclusioni dalle sue osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e nei giorni freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Così arricchiva ogni giorno il suo elenco di una proposizione osservativa in condizioni più disparate. Finché la sua coscienza induttivista non fu soddisfatta ed elaborò un'inferenza induttiva come questa: "Mi danno il cibo alle 9 del mattino". Questa concezione si rivelò incontestabilmente falsa alla vigilia di Natale, quando, invece di venir nutrito, fu sgozzato.

Giuseppe Peano - via commons

L'idea di Russell era quella di criticare il metodo induttivo, in cui una serie di inferenze positive successive è considerata sufficiente per trarre una legge più generale su quanto accade nel mondo. Cardine del pensiero filosofico positivista, oltre a cozzare con la pratica sperimentale usuale in scienze come la fisica o la chimica, si scontra anche con il principio di induzione formulato nel 1889 da Giuseppe Peano nei suoi Arithmetices Principia. Peano elaborò cinque assiomi con lo scopo di definire l'insieme dei numeri naturali. Si dimostra che il quinto assioma è equivalente al principio di induzione e afferma che se una certa proprietà $P$ vale per $0$ e per un dato $n = k$, con $k$ numero naturale, e se essendo vera per $n$ è vera anche per $n+1$, allora la proprietà $P$ è vera per ogni numero naturale uguale o maggiore di $k$.
Su questo principio si basa la dimostrazione per induzione, che è cosa molto diversa e molto più solida del metodo per induzione dei positivisti.

Le grandi domande della vita: speciale Ridi Topolino

Puntata uscita con un giorno di ritardo: la lettura prima di tutto. E poi dovevo anche smettere di ridere!

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Ritorna in edicola la mitica Ridi Topolino, con una raccolta speciale di alcune delle storie inedite uscite sul bimestrale e realizzate da Tito Faraci e Giuseppe Ferrario. Se Panini ci delizierà ancora una volta con questa rivista, solo il tempo ce lo dirà, ma è certo che è stata di ispirazione non solo per la carriera fumettistica di un tale di nome Sio, ma anche questa puntata de Le grandi domande della vita (e forse in qualche angolino del mio cervello anche della rubrica stessa!).

1+1

da Ridi Topolino #3

Come abiamo già visto, ci sono volute 300 e più pagine a Bertrand Russell e Alfred North Whitehead per dimostrare che $1+1=2$. Questo è un esercizio abbastanza complicato quando si vuole scendere nelle profondità del mare matematico, oppure ecessivamente banale quando, alla domanda, si fornisce la risposta, perché $2$ è definito come $1+1$. Una dimostrazione, che forse non avrà la completezza formale di quela di Russell, ma che è anche didatticamente utile, può tranquillamente utilizzare i postulati del matematico italiano Giuseppe Peano⁽¹⁾:

1. $1$ è un numero appartenente a $N$
2. Se $x$ è un numero in $N$, allora il suo sucessore $x'$ è in $N$
3. Non esiste alcun $x$ tale che $x' =1$
4. Se $x$ non è $1$, allora esiste un $y$ in $N$ tale che $y' = x$
5. Se $S$ è un sotoinsieme di $N$, $1$ è in $S$, e l’implicazione $X \in S \Rightarrow x' \in S$ è vera, allora $S=N$

Allora si definisce ricorsivamente la somma:

Siano $a$, $b \in N$. Se $b=1$, allora, utilizzando i postulati 1 e 2, $a+b = a'$. Se $b$ è diverso da $1$, alora sia $c' = b$, con $c \in N$ (dal postulato 4), e per definizione $a+b=(a+c)'$.

llora devi definire $2 = 1'$.
Dalla sua definizione e dai postulati 1 e 2, segue che $2 \in N$.
Possiamo allora dimostrare che $1+1=2$:

Prendiamo la definizione della somma e applichiamola al caso in cui $a=b=1$: \[1+1=1'=2\]

Esiste una formulazione differente dei postulati di Peano che sostituisce l'$1$ con lo $0$ nei postulati 1, 3, 4, 5. Questo costringe a modificare la definizione della somma:

Siano $a$, $b \in N$. Se $b=0$, allora per definizione $a+b = a$. Se $b$ è diverso da $0$, allora sia $c' = b$, con $c \in N$, e per definizione $a+b=(a+c)'$.

Quindi si definiscono $1 = 0'$, e $2 = 1'$. La dimostrazione del teorema sulla somma delle due unità diventa leggermente differente:

Utilizzando la seconda parte della definizione della somma si ottiene: \[1+1=(1+0)'\] e utilizzando la prima parte nelle parentesi si ottiene: \[1+1=(1)'=1'=2\]