Le grandi domande della vita: Se così, allora...

Lo so, non è esattamente un titolo che fa capire cosa ci sarà, ma non avevo molte idee quando l'ho messo giù. Per dare un'idea non solo del genere di domande affrontate, ma anche del tenore delle risposte (il più semplici possibili), partirei da una domanda a suo modo stupefacente: se \(8x = 80\), allora quanto vale \(x\)?
La risposta più ovvia è una sola e nessuno di noi farebbe nulla di più complicato di quello che vi è venuto subito in mente. Eppure delle oltre 100 risposte, la risposta più semplice, quella che vi è venuta in mente, l'ha fornita l'ai assistant di Quora...

Palesemente impossibile

C'è anche una domanda su un'equazione che sembra non avere alcuna soluzione: \[sin x = 2\] Questa equazione non ha soluzioni, visto che il seno (così come anche il coseno) è una funzione limitata tra -1 e 1. Se però scriviamo la funzione nella sua forma esponenziale, \[\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = 2\] allora scopriamo che siamo in grado di trovare due soluzioni complesse: \[x = 2 \pi n -i \ln (2i \pm i \sqrt 3 )\] Questo è dunque un altro esempio di come in matematica spesso quando si cambia il campo di applicazione di una funzione, si possono trovare le soluzioni di equazioni altrimenti impossibili in altri campi.
Nello specifico, poi, ho scovato quali dovrebbero essere le parti reale e immaginaria del seno di un numero complesso \(z\): \[Re [\sin(z)] = \sin(x) \cdot \cosh(y)\] \[Im [\sin(z)] = \cos(x) \cdot \sinh(y)\]

Intersezioni

Ci sono, poi, due equazioni abbastanza analoghe: \(x^2 = 2^x\) e \(10^x = x^10\). Vediamo la prima:
Utilizzando WolframAlpha si trovano tre soluzioni. Due sono intere, ovvero \(x = 2\) e \(x = 4\). E una è reale e guardando il grafico è compresa tra -1 e 0. Non ho usato a caso la parola grafico: l'idea di partenza, anche per capire di quante intersezioni si parla, è quella di confrontare il grafico delle due funzioni che compongono l'equazione. Tornando alla soluzione, utilizzando per esempio il metodo di bsezione, si può arrivare a qualcosa come -0.766.
La seconda, invece, ha una soluzione intera, \(x = 10\), una compresa, come prima, tra -1 e 0, e l'altra compresa tra 1 e 2. E anche in questo caso si può utilizzare il metodo della bisezione per trovare i due valori (qualcosa del tipo di -0.83 e 1.47 rispettivamente).
Vi lascio infine con \(x^{x^{x}} = 36283\). In questo caso la soluzione smbrerebbe trovarsi tra 2 e 3. Probabilmente qualcosa del tipo 2.56286, come visto in questa risposta specifica che ho trovato particolarmente interessante.