Abbiamo già visto come, partendo dai numeri primi, si possa sviluppare un discorso più o meno approfondito sulle fondamenta matematiche. Altrettanto fondamentale, però, si rivela provare a rispondere alla domanda su quale sia il numero primo più piccolo. E', infatti, abbastanza noto come il numero 1 sia stato ora inserito ora escluso dalla lista dei numeri primi, ottenendo in alcuni casi lo status di più piccolo tra i numeri primi, ora perdendolo in favore del 2.
Il problema, gli antichi greci, non se lo ponevano nemmeno: Euclide, infatti, non considerava l'1 come un numero e quindi non poteva essere nemmeno considerato il più piccolo dei numeri primi. Nel libro 7 degli Elementi, il matematico greco definisce come unità ciò per la cui virtù tutte le altre cose esistono(6), e la chiama 1; un numero, poi, è una moltitudine composta da unità(6); un numero primo, infine, è ciò che può essere misurato solo utilizzando unità(6).
Ovviamente Euclide non era il solo a non considerare l'unità un numero. Scrive Smith(2):
Aristotele, Euclide, e Teone di Smirne definivano un numero primo come un numero "misurata da nessun numerose non che dalla sola unità", con leggere variazioni nel testo.La tradizione che porta l'1 al non essere un numero è lunga e consolidata e passa per una serie di illustri matematici del passato, gente come Nicomaco di Gerasa, Severino Boezio, Cassiodoro, Marziano Capella, che stabilisce non solo che l'1 non è un numero(3), ma anche quali siano le proprietà e le qualità di ciascuno di essi. Questo fronte non era però così unanime: ad esempio, come riporta Taran, Speusippo (siamo nel 350 circa) faceva partire da 1 la sequenza dei numeri primi(6).
Dal momento che l'unità non era considerato un numero, spesso non veniva menzionato.
Il primo punto di svolta in questa storia arrivò nel 1585 quando Simon Stevin nel De Thiende, oltre a porre le basi per il sistema decimale, definì l'1 come numero. Questa piccola rivoluzione venne successivamente formalizzata circa un secolo dopo nel dizionario matematico di Moxon(6)
notazionalmente e algoritmicamente, non c'era alcuna differenza tra uno e gli altri numeriD'altra parte, prendendo l'esempio di Caldwell e Xiong(6), se 1 non è un numero, allora $3-1=3$.
Ad ogni modo con Moxon inizia un periodo di assestamento prima di tutto sul concetto di 1 come numero: non sono pochi i matematici illustri a seguire la tradizione, primo fra tutti Eulero, mentre gente come Goldbach, suo coevo, lo indica come il primo dei numeri primi. Ad esempio è famosa la lettera di quest'ultimo al collega svizzero in cui rappresenta gli interi come somme di numeri primi, includendo esplicitamente l'1(6):
L'ultimo punto chiave, però, è rappresentato dalla dimostrazione di Gauss del teorema fondamentale dell'aritmetica, come proposta in Disquisitiones Arithmeticae del 1801(4). Tale teorema può essere formulato come segue(5)
Teorema fondamentale dell'aritmerica
Per ogni numero naturale $n$ esiste una fattorizzazione unica \[n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\] dove gli esponenti $a_i$ sono interi positivi e $1 < p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ sono primi.
Per dimostrare il teorema bisogna innanzitutto dimostrare l'esistenza di una fattorizzazione e quindi la sua unicità. In particolare l'esistenza venne dimostrata per la prima volta da al-Farisi, che non si occupò dell'unicità per il semplice fatto che era interessato ai divisori e non alla fattorizzazione stessa. La dimostrazione venne quindi completata da Gauss, che dimostrò l'unicità, dopo aver considerato ovvia la sua esistenza a partire da considerazioni elementari (che probabilmente coinvolgono la condizione della catena discendente, che deriva da considerazioni fatte a suo tempo da Fermat, ovvero che nessuna sequenza di interi positivi strettamente decrescenti è infinita, e il principio del buon ordinamento, che stabilisce che ogni insieme non vuoto di interi positivi contiene un limite inferiore, già presente nel lavoro di Euclide: sia la condizione sia il principio giocano poi un ruolo importante anche nella dimostrazione dell'unicità della fattorizzazione)(4).Per ogni numero naturale $n$ esiste una fattorizzazione unica \[n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\] dove gli esponenti $a_i$ sono interi positivi e $1 < p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ sono primi.
E' proprio l'unicità della fattorizzazione che porta l'argomentazione principale contro la primalità di 1. Un ottimo esempio lo fornisce James Grime con il 15: \[15 = 3 \times 5 = 5 \times 5\] che sono la stessa fattorizzazione considerando la commutatività del prodotto. Se però consideriamo 1 un numero primo, allora le seguenti fattorizzazioni \[15 = 1 \times 3 \times 5 = 1 \times 1 \times 3 \times 5 = \cdots\] sono tutte differenti e quindi non esiste una fattorizzazione unica e il teorema fondamentale dell'aritmetica risulterebbe falso. Nonostante il risultato di Gauss, furono molti tra i matematici e i fisici teorici che considerarono 1 come numero primo per molti decenni ancora, almeno fino a G. H. Hardy che incluse l'unità nella sua lista di numeri primi fino all'edizione del 1933 di A course of pure mathematics(6).
Hardy può, dunque, essere considerato come l'ultimo matematico a considerare l'1 come un numero primo: la sua capitolazione avvenne con l'edizione del 1928 del suo Course(6).
In chiusura Caldwell e Xiong propongono di rispolverare un vecchio nome per la serie dei numeri primi, i numeri non composti, nome utilizzato nel 1688 da Thomas Brancker(6):
L'articolo di Caldwell e Xiong, che si trova su arXiv, è stato pubblicato nel 2012 sul Journal of Integer Sequences. La storia dell'articolo è stata ripescata a fine settembre 2014 su Impact Lab via Slate in relazione con una scoperta del 2013 fatta dal matematico Yitang Zhang sulla distribuzione dei numeri primi. In particolare Zhang ha dimostrato il seguente teorema
Teorema di Zhang (nella versione di Ben Green):
Esiste una costante assoluta $H$ tale che esistono infinite coppie di numeri primi distinti che differiscono al più di $H$.
Il valore di $H$ ottenuto da Zhang è 70000000.Esiste una costante assoluta $H$ tale che esistono infinite coppie di numeri primi distinti che differiscono al più di $H$.
La ricerca di Caldwell e Xiong, invece, è completata da The History of the Primality of One: A Selection of Sources.
(1) Gli scritti di Lebesgue sono Remarques diverses sur les nombres premiers sul Nouvelles annales de mathématiques 15 (1856), 130-143; Excercices d'analyse numérique (1859); insieme con Jules Hoüel, Tables diverses pour le décomposition des nombres en leurs facteurs premiers (1864).
(2) D.E. Smith, History of mathematics, vol. 2, Dover, 1958
(3) W.H. Stahl, E.L. Burge, Martianus Capella and the seven liberal arts, vol. 2, Columbia University Press, 1992
(4) Agargun A.G. & Fletcher C.R. (1997). The Fundamental Theorem of Arithmetic Dissected, The Mathematical Gazette, 81 (490) 53-57. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/3618768
(5) Crandall R. & Pomerance C.B. (2005). Primes!, Prime Numbers, Prime numbers: a computational perspective 1-82. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/0-387-28979-8_1
(6) Caldwell C.K. & Xiong Y. (2012). What is the smallest prime?, Journal of Integer Sequences, 15 arXiv: http://arxiv.org/abs/1209.2007v2
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