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domenica 11 dicembre 2011

Quei matematici dei contadini russi: moltiplicazioni


Contadini russi di Filipp Andreevic Maljavin (1902)
Non è né una prosecuzione ideale e apocrifa, né un prequel dell'interessantissimo Problemi matematici per gli ebrei sovietici di Popinga, ma l'idea di fondo è quella di omaggiare il professore di matematica del liceo, Ottavio Serra, che all'epoca per la prima volta mi introdusse al magico mondo della matematica dei contadini russi. Visto però che questo metodo serviva ai nostri bravi contadini per calcolare più semplicemente e rapidamente le moltiplicazioni ha senso, prima di tutto, parlare dell'operazione prodotto tra numeri naturali.
Innanzitutto è necessario, a partire da due numeri $m$, $n$, definire il prodotto $m \cdot n$ tra i due. Questa operazione può essere definita come la somma di tanti $m$ uno dietro l'altro per $n$ volte o d'altra parte come la somma di tanti $n$ uno dietro l'altro per $m$ volte, e questo ci fa capire come la moltiplicazione sia commutativa (in un certo senso si potrebbe dire che la commutatività della moltiplicazione discende da quella dell'addizione). Questo modo può anche andar bene quando abbiamo numeri di una cifra, ma quando entrambi i numeri hanno due cifre, operare in questo modo diventa piuttosto lungo. Così il metodo classico, o canonico utilizzato a scuola è quello che si fonda sulle tavole pitagoriche e quindi sulle tabelline, e certamente è molto più semplice e veloce delle somme ripetute, ma implica il ricordare una decina di tabelline e l'uso successivo delle somme. Qualcosa del tipo(1):
Non è però l'unico metodo per eseguire il prodotto tra due numeri e nel corso della storia ne sono stati sviluppati cinque(2): la moltiplicazione in colonna (quella classica, per intenderci), la moltiplicazione medievale, la moltiplicazione a crocetta, la moltiplicazione cinese, la moltiplicazione per raddoppio, la moltiplicazione dei contadini russi.
La seconda di queste moltiplicazioni, quella araba, anche detta a graticola o gelosia, è stata probabilmente sviluppata in India e nel mondo arabo, e probabilmente era nota anche in Cina. La prima traccia documentata in Europa risale al 1478 quando viene diffuso il primo libro di matematica stampato con il nuovo metodo sviluppato nel 1456 da Gutenberg, Larte de labbacho, testo anonimo anche noto come l'Aritmetica di Treviso(3).
Questo tipo di moltiplicazione si basa su una griglia costituita da un totale di righe e colonne pari al numero di cifre dei due numeri da moltiplicare. Ciascuna cifra si inserisce intorno alla graticola nel modo seguente:
A questo punto, proseguendo con l'esempio proposto da Annarita, prima di tutto si moltiplica ciascuna cifra del primo moltiplicando per ciascuna cifra del secondo in modo da riempire ciascuna cella, divisa in due parti, una per le unità e una per le decine. Fatto questo si sommano le cifre lungo le diagonali:
Le cifre così trovate, che nell'immagine di esempio sono in rosso, lette dall'alto in basso e da sinistra a destra, sono la soluzione della nostra operazione di moltiplicazione.
Un altro esempio potete trovarlo su Materiali di Prof.G.
La moltiplicazione cinese, invece, è una moltiplicazione che utilizza un metodo grafico(4) basato su rette che si intersecano. Il modo migliore per capirla è vederla in azione (via Maestra Elisa):
Il metodo non è molto differente rispetto alla moltiplicazione dei Maya. Gli antichi egizi, invece, svilupparono la così detta moltiplicazione per raddoppio, un metodo giuntoci grazie al papiro di Rhind. Supponiamo di avere due numeri $m$, $n$. Per semplicità e velocità di calcolo supponiamo poi che $m$ sia maggiore di $n$. Per eseguire la moltiplicazione si parte scrivendo sulla stessa riga il numero $m$ di partenza e accanto $1$. Alla riga successiva si raddoppiano entrambe le cifre, e si prosegue in questo modo per raddoppi successivi fino a che non raggiungiamo, sulla seconda colonna, il numero $n$. Un esempio, però, vale più di mille parole e anche in questo caso prendo in prestito quello che ha scritto in proposito Cristofaro per la moltiplicazione tra 124 e 64:
Il metodo dei contadini russi non è molto diverso da quello precedente. Si parte come al solito da due numeri $m$, $n$, tali che $n$ sia il più piccolo. A questo punto si procede raddoppiando $m$ e dimezzando $n$. SI prosegue fino a che non si raggiunge 0, ricordando di fermarsi sempre alla prima cifra intera senza proseguire oltre con il dimezzamento, ad esempio se ho 13, il risultato della divisione sarà 6 con resto 1. E il risultato della moltiplicazione sarà la somma dei raddoppi corrispondenti con un dimezzamento dispari. Vediamolo all'opera con la moltiplicazione tra 15 e 13:
Sommiamo quindi i valori corrispondenti agli $n$ dispari, ovvero $15 + 60 + 120 = 195 = 15 \cdot 13$.
Il metodo, evidentemente, viaggiò dall'Egitto per arrivare in Russia (forse in Ucraina?) dove probabilmente gli arguti contadini lo adattarono forse sperando di ridurre al minimo il numero di moltiplicazioni da fare. Se siete curiosi di provarlo, eccovi alcuni esercizi dove i primi sono esplicitamente dedicati ai nostri contadini russi.

(1) Matematicamente di Antonio Bernanrdo
(2) Operazioni "elementari": la moltiplicazione di Giovanna Di Donna (ppt)
(3) Larte de labbacho (l’Aritmetica di Treviso, 1478) e la matematica medievale di Giorgio T. Bagni (pdf)
(4) La moltiplicazione grafica: dimostrazionealgebrica e altre curiosit`a di Nicholas Fiorentini

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