L'indeterminata leggerezza di essere uno zero

Partiamo dalla domanda che ha scatenato tutto:

L'equazione $y=a^b$

1. è vera per ogni valore di $a$ e di $b$;
2. è vera per ogni $a > 0$ e per ogni valore di $b$;
3. nessuna delle precedenti.

La prima domanda è stata alternativamente accettata e scartata a causa di una piccola questione: quanto fa $0^0$?
Come ho scritto su GPlus, dove la discussione si è scatenata, la risposta è:

$0^0$ è una forma indeterminata

Ed è la risposta giusta comunque la si giri (lo metto in grassetto per evitare equivoci!). E su questa concordano un po' tutti, a partire dagli insegnanti delle scuole superiori fino ad arrivare ai matematici passando per i calcolisti (gli insegnanti di calcolo e i ricercatori nel campo dell'analisi matematica, che si occupa della continuità delle funzioni), solo che, come vedremo alla fine, ci sono anche delle necessità matematiche per definire (attenzione definire) $0^0 = 1$.
La sfida, ad ogni modo, sulla specifica questione l'ha lanciata Juhan sul Tamburo Riparato (già raccolta da .mau. su Il Post), dove il nostro mostra un approccio informatico, secondo il quale $0^0 = 1$ perché diversamente non sarebbe utile:

It merely means that exponentiation cannot be a continuous function in any neighborhood of that value.
And so we assign 0^0 the value that’s useful, which is 1. Why is that useful? Because it lets us manipulate exponentials without special cases.

La prima parte di questa citazione di Anders Kaseorg, estratta dal commento in una discussione su Quora, è l'argomentazione utilizzata dagli analisti per affermare che $0^0$ è una forma indeterminata. Infatti se prendiamo la funzione a due valori $f(x,y) = y^x$, esistono due casi limite: il primo è quando $x \rightarrow 0^+$, ovvero quando $x$ è vicinissimo allo $0$ e assume valori positivi, per cui $f(0,y) = 1$; il secondo è quando $y \rightarrow 0$, ovvero questa volta è $y$ ad essere vicinissmo allo $0$, per cui $f(x,0) = 0$. In questo modo si mostra come la funzione $f(x,y) = y^x$ non è continua nel punto $(0,0)$ e questa discontinuità non può essere eliminata.
Questa è sostanzialmente una versione raffinata dell'argomentazione utilizzata nelle scuole superiori, dove si fa notare che $a^0 = 1$ per tutti i valori di $a$, mentre $0^b = 0$ per tutti i valori di $b$ e quindi $0^0$ è una forma indeterminata, come conferma, ad esempio, l'illustre WolframAlpha:

o come mostra Mathics, una sorta di piccolo Mathematica online gratuito:

L'indeterminatezza di $0^0$ può, però, essere sciolta in alcuni casi particolari, ovvero quando base ed esponente sono due funzioni distinte: \[f(x)^{g(x)}\] In effetti l'uso di due funzioni distinte $f(x)$, $g(x)$, che si avvicinano indipendentemente allo $0$ in modi apriori differenti è sostanzialmente l'argomentazione di Cauchy⁽²⁾ per imporre l'indeterminatezza della forma $0^0$. L'idea è proprio quella che io non conosco come le due funzioni si avvicinano allo $0$ e quindi, fino a che non sciolgo questa conoscenza, non posso sapere il valore dell'operazione.
D'altra parte ci sono, anche storicamente, un po' di matematici che hanno spinto per la definizione di $0^0 = 1$. L'argomentazione più nota è la seguente:
Quando abbiamo affrontato le espressioni letterali, una delle cose che ci è stata insegnata è stata la formula per sviluppare il quadrato di un binomio cui successivamente è stata aggiunta quella per sviluppare il cubo. La generalizzazione di questa operazione di elevamento a potenza del binomio è detta teorema binomiale: \[(a+b)^x = \sum_{k=0}^x \binom{x}{k} a^k b^{x-k}\] Ora, se $a=0$, $b <> 0$ allora \[b^x = \sum_{k=0}^x \binom{x}{k} 0^k b^{x-k} = \binom{x}{0} 0^0 b^x + \binom{x}{1} 0^1 b^{x-1} + \binom{x}{2} 0^2 b^{x-2} \cdots =\] \[= \binom{x}{0} 0^0 b^x = 0^0 b^x\] dove non c'è nessuna ambiguità nel porre $0^1 = 0^2 = \cdots = 0^k = \cdots = 0^x = 0$ e quindi resta un unico termine, che ha come fattore iniziale $0^0$. Ora, se vogliamo che il teorema binomiale funzioni, allora $b^x = 0^0 b^x$ e quindi $0^0 = 1$.
Esistono però anche altre argomentazioni, molte delle quali sono state sostenute in una serie di articoli dal matematico italiano Guglielmo Libri che in una serie di articoli studiò la funzione $0^{(0^x)}$. In particolare in Mémoire sur les fonctions discontinues (pdf, in francese, ma per fortuna la matematica no!) Libri porta una serie di osservazioni a sostegno della definizione di $0^0 = 1$, che vennero supportate da August Mobius. Le argomentazioni di Mobius, però, vennero successivamente smontate da un anonimo matematico nel 1834⁽²⁾. Mobius, infatti, pretese di aver dimostrato che $0^0 = 1$ grazie a una dimostrazione che mostrava come $f(x)^g(x) = 1$ era indipendente da come le due funzioni si avvicinavano allo $0$. Il controesempio è di una semplicità disarmate: basta sostituire $f(x) = e^{-1/x}$, $g(x) = x$, arrivando così all'assurdo che una costante diversa da $1$ è uguale a $1$!.
Questo, di fatto, sembrò chiudere la questione, che in effetti sembra restare in piedi solo su web, dove da una parte Math Fun Facts riassume le argomentazioni per cui $0^0 = 1$, mentre dall'altra il più istituzionale Mathworld sostiene giustamente l'indeterminazione di $0^0$.
Potrei chiudere la faccenda con il salomonico parere di Donald Knuth

Both Cauchy and Libri were right, but Libri and his defenders did not understand why truth was on their side.⁽²⁾

Però credo che abbia in parte ragione The Mathematician, da cui ho tratto i calcoli binomiali, quando conclude con una frase del tipo: si sceglie $0^0 = 1$ non perché sia la scelta giusta (e non lo è, nel senso che non è vera in generale, aggiungo io), ma perché è bella⁽¹⁾.

(1) The choice is not “right”, it is merely nice.
(2) Donald Knuth, Two notes on notation