Piccolo teorema sui cerchi e le corde

Due circonferenze si intersecano nei due estremi della corda $AB$. Scelto $C$ sull'arco $AB$ maggiore (sulla circonferenza di raggio inferiore) congiungere gli estremi della corda con $C$ e prolungare le rette per incontrare la seconda circonferenza nei punti $D$ ed $E$. Dimostrare che la lunghezza della corda $DE$ è indipendente dalla scelta del punto $C$.
Questa è la traduzione, in un linguaggio che spero si nasconda bene con quello di teoremi simili, di un problema geometrico proposto ieri da +Marco Cameriero su GPlus:

Facendo riferimento a un disegno che ho realizzato ieri al volo su carta, e che Marco ha avuto modo (e tempo) di sistemare con GeoGebra, eccovi la dimostrazione del teorema poco meno di 10 passi:

Iniziamo con il cerchio piccolo
1) $C \hat{A} C' = D \hat{A} D'$
2) $C \hat{B} C' = E \hat{B} E'$
3) $A \hat{C} B = A \hat{C'} B$
4) $C \hat{H} A = C' \hat{H} B$
5) (3) e (4) e il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° implicano che $C \hat{A} C' = C \hat{B} C'$
Passiamo al cerchio grande:
6) Da (1) e (2) segue che $D \hat{A} D' = E \hat{B} E'$ e per il teorema della corda che $DD' = EE'$ e in particolare che $D \hat{O} D' = E \hat{O} E'$
7) Osserviamo ora che $D \hat{O} E = D \hat{O} E' + E \hat{O} E'$
8) Allo stesso modo $D' \hat{O} E' = D \hat{O} D' + D \hat{O} E'$
9) Dalla (7) segue che $D \hat{O} E=D' \hat{O} E'$ e per il teorema della corda che $DE = D'E'$
c.v.d.