Dimostrazioni senza parole: doppia serie geometrica

Commentando la dimostrazione sulla somma di una serie infinita il buon Popinga chiede:

Voglio anche quello delle due birre ordinate da un'infinità di matematici!

E gisto quel giorno stesso mi manda (via twitter) il suggerimento, via Wolfram Alpha , sulla così detta doppia serie geometrica: \[\sum_{j=1}^\infty \frac{j}{2^{j+1}}\] ovvero come far ubriacare un numero infinito di matematici con una birra (ovviamente per due birre basta raddoppiare)!
La dimostrazione, qui sotto, è di Patrick Honner

Dimostrazioni senza parole: differenze tra cubi

\[(n+1)^3 - n^3 \equiv 1 \mod 6\]

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Claudi Alsina,, Roger Nelsen,, & Hasan Unal (2014). Proof Without Words: The Difference of Consecutive Integer Cubes Is Congruent to 1 Modulo 6 The College Mathematics Journal, 45 (2), 135-135 DOI: 10.4169/college.math.j.45.2.135 (facebook)

La serie infinita del triangolo aureo

Un triangolo aureo è un triangolo isoscele in cui il rapporto tra uno dei lati uguali con la base è pari alla sezione aurea $\varphi$. Utilizzando un triangolo aureo di lato 1, è possibile dimostrare che \[1 + \frac{1}{\varphi^2} + \frac{1}{\varphi^4} + \cdots = \varphi\] \[\frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi^3} + \cdots = 1\] \[\frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi^2} + \frac{1}{\varphi^3} + \cdots = \varphi\]

Il triangolo aureo qui sopra è lo screenshot della applet realizzata da Irina Boyadzhiev e ispirata alla dimostrazione senza parole di Steven Edwards.

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Edwards S. (2014). Proof Without Words: An Infinite Series Using Golden Triangles, The College Mathematics Journal, 45 (2) 120-120. DOI: 10.4169/college.math.j.45.2.120 (twitter)

Piccolo teorema sui cerchi e le corde

Due circonferenze si intersecano nei due estremi della corda $AB$. Scelto $C$ sull'arco $AB$ maggiore (sulla circonferenza di raggio inferiore) congiungere gli estremi della corda con $C$ e prolungare le rette per incontrare la seconda circonferenza nei punti $D$ ed $E$. Dimostrare che la lunghezza della corda $DE$ è indipendente dalla scelta del punto $C$.
Questa è la traduzione, in un linguaggio che spero si nasconda bene con quello di teoremi simili, di un problema geometrico proposto ieri da +Marco Cameriero su GPlus:

Facendo riferimento a un disegno che ho realizzato ieri al volo su carta, e che Marco ha avuto modo (e tempo) di sistemare con GeoGebra, eccovi la dimostrazione del teorema poco meno di 10 passi:

Induzione

La dimostrazione per induzione si basa sul principio di induzione, secondo cui:

(...) se $\mathcal{P}$ è una proprietà che vale per $k \in \mathbb{N}$, e se $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ per ogni $n \ge k$, allora $\mathcal{P}$ vale $\forall n \in \mathbb N$ con $n \ge k$.
In simboli: \[(\forall P)[P(0) \land ( \forall k \in \mathbb{N}) (P(k) \Rightarrow P(k+1))] \Rightarrow ( \forall n \in \mathbb{N} ) [ P(n) ] \] dove $k$ e $n$ sono numeri naturali.

I passi su cui si basa la dimostrazione per induzione sono quindi:

1. si dimostra che vale $P(1)$ (o $P(0)$), cioè che 1 (o 0) è nel sottoinsieme dei numeri naturali $U$ per cui vale $P(n)$;
2. si assume come ipotesi che l'asserto $P(n)$ valga per un generico $n$ e da tale assunzione si dimostra che vale anche $P(n+1)$ (cioè che $n \in U \Rightarrow n+1 \in U$) e quindi si conclude che l'insieme $U$ dei numeri per cui vale $P(n)$ coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali.

Ed è quindi possibile dimostrare la seguente affermazione: \[2^n \geq 2n\]

1. Per $n=1$, $2 \geq 2$; per $n=2$, $4 \geq 4$;
2. $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2^n + 2^n \geq 2n + 2n \geq 2n + 1$

Dimostrazioni senza parole: Teoremi per trisecatori

Sulla trisecazione di un angolo
Rufus Isaacs. "Two Mathematical Papers without Words." Mathematics Magazine 48.4 (1975): 198

Dimostrazioni senza parole: il cerchio rotolante

Un cerchio rotolante quadra se stesso

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Elsner T. (1977). The Rolling Circle Squares Itself, Mathematics Magazine, 50 (3) 162. DOI: 10.2307/2689507

Dimostrazioni senza parole: il paradosso di Simpson

In statistica e teoria delle probabilità, il paradosso di Simpson accade quando un andamento (trend) che compare in diversi gruppi di dati successivamente scompare quando questi gruppi vengono combinati tra loro. Il paradosso, che può essere incontrato specialmente in medicina o nelle scienze sociali (come ad esempio nei sondaggi di opinione sulla politica!), in genere scompare quando si prendono in considerazione relazioni di causalità in precedenza non considerate.
Quella che segue è la dimostrazione del paradosso fornita da Jerzy Kocik (pdf)

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Kocik J. (2001). Proof without Words: Simpson's Paradox, Mathematics Magazine, 74 (5) 399. DOI: 10.2307/2691038

Dimostrazioni senza parole: il teorema di Tolomeo e la legge dei coseni

Il post nasce a partire dalla prima delle dimostrazioni senza parole qui proposte e recentemente pubblicata. Le altre due sono frutto di una breve ricerca su dimostrazioni più o meno vicine ad essa. Il principale ideatore di dimostrazioni originali senza parole per l'Italia è, invece, Roberto Zanasi, che evidentemente ha ispirato questo post: un grazie non è mai abbastanza (ma se creasse l'etichetta per le sue dimostrazioni senza parole, farebbe contenta un po' di gente, me per primo!)

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Teorema di Tolomeo

Derrick W. & Hirstein J. (2012). Proof Without Words: Ptolemy’s Theorem, The College Mathematics Journal, 43 (5) 386-386. DOI: 10.4169/college.math.j.43.5.386 (via Cut the Knot)

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Teorema del coseno

Kung S.H. (1990). Proof without Words: The Law of Cosines, Mathematics Magazine, 63 (5) 342. DOI: 10.2307/2690911 (pdf)

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Teorema del coseno via teorema di Tolomeo

Kung S.H. (1992). Proof without Words: The Law of Cosines via Ptolemy's Theorem, Mathematics Magazine, 65 (2) 103. DOI: 10.2307/2690488 (pdf)

La congettura di Collatz inversa.

Scegliete un numero (intero e positivo, e così sarà per qualsiasi "numero" nel post). Se pari, dividetelo per 2; se dispari, moltiplicatelo per 3 e sommategli 1. Ora ricominciate da capo ripetendo l'operazione con il numero che avete ottenuto.

La congettura di Collatz, che prende il nome dal matematico tedesco Lothar Collatz che l'ha proposta nel 1937, afferma che qualsiasi sia il numero scelto in principio il risultato finale di un numero finito di iterazioni della procedura descritta sopra è 1.

La congettura è celebre perché è tanto semplice da formulare quanto, sembrerebbe, difficile da dimostrare. Il condizionale è d'obbligo perché una dimostrazione - per i pessimisti un controesempio - alla congettura ancora non è stata data. Molti matematici, professionisti e dilettanti, si sono cimentati nell'impresa ma, utilizzando le parole di Terence Tao

[...] Open questions with this level of notoriety can lead to what Richard Lipton calls "mathematical diseases” (and what I termed an unhealthy amount of obsession on a single famous problem). [...] As such, most practicing mathematicians tend to spend the majority of their time on more productive research areas that are only just beyond the range of current techniques. [...]

Della stessa opinione Randall Munroe, qualche tempo fa, con una vignetta su xkcd

Via Flowing Data scopro che tra i vari approcci e tecniche di dimostrazione c'è quello inverso: invece che partire da un qualsiasi numero ed arrivare ad 1 attraverso l'iterazione finita del procedimento di sopra perchè non partire da 1 ed arrivare per mezzo di un procedimento inverso ad ogni numero? Il risultato di questo procedimento inverso si chiama grafo di Collatz; si può dimostrare (provateci ;-) ) che la congettura di Collatz è equivalente al fatto che tale grafo esiste e che è un albero, ovvero è connesso e non ammette cicli, a meno di quello triviale 1-2-4 (per i dettagli rimando alla wiki-pagina). Jason Davies, programmatore e web disegner britannico, riesce ad animare la congettura inversa attraverso uno script in python che fa crescere il grafo di Collatz per traiettorie (o orbite) di lunghezza inferiore o uguale a 18. Merita un play!

P.s. gli amanti dei demonstration project di Wolfram trovano qui l'omologo (ma più pesante) file .cdf