La congettura di Collatz inversa.

Scegliete un numero (intero e positivo, e così sarà per qualsiasi "numero" nel post). Se pari, dividetelo per 2; se dispari, moltiplicatelo per 3 e sommategli 1. Ora ricominciate da capo ripetendo l'operazione con il numero che avete ottenuto.

La congettura di Collatz, che prende il nome dal matematico tedesco Lothar Collatz che l'ha proposta nel 1937, afferma che qualsiasi sia il numero scelto in principio il risultato finale di un numero finito di iterazioni della procedura descritta sopra è 1.

La congettura è celebre perché è tanto semplice da formulare quanto, sembrerebbe, difficile da dimostrare. Il condizionale è d'obbligo perché una dimostrazione - per i pessimisti un controesempio - alla congettura ancora non è stata data. Molti matematici, professionisti e dilettanti, si sono cimentati nell'impresa ma, utilizzando le parole di Terence Tao

[...] Open questions with this level of notoriety can lead to what Richard Lipton calls "mathematical diseases” (and what I termed an unhealthy amount of obsession on a single famous problem). [...] As such, most practicing mathematicians tend to spend the majority of their time on more productive research areas that are only just beyond the range of current techniques. [...]

Della stessa opinione Randall Munroe, qualche tempo fa, con una vignetta su xkcd

Via Flowing Data scopro che tra i vari approcci e tecniche di dimostrazione c'è quello inverso: invece che partire da un qualsiasi numero ed arrivare ad 1 attraverso l'iterazione finita del procedimento di sopra perchè non partire da 1 ed arrivare per mezzo di un procedimento inverso ad ogni numero? Il risultato di questo procedimento inverso si chiama grafo di Collatz; si può dimostrare (provateci ;-) ) che la congettura di Collatz è equivalente al fatto che tale grafo esiste e che è un albero, ovvero è connesso e non ammette cicli, a meno di quello triviale 1-2-4 (per i dettagli rimando alla wiki-pagina). Jason Davies, programmatore e web disegner britannico, riesce ad animare la congettura inversa attraverso uno script in python che fa crescere il grafo di Collatz per traiettorie (o orbite) di lunghezza inferiore o uguale a 18. Merita un play!

P.s. gli amanti dei demonstration project di Wolfram trovano qui l'omologo (ma più pesante) file .cdf

La chimica e l'algebra

In Chemistry and Algebra, John Joseph Sylvester, oltre ad introdurre per la prima volta il termine graph, grafo, propone un parallelo tra chimica e algebra, in particolare tra atomi e binari quantici. Innanzitutto cerchiamo di chiarire il concetto di quantico, che non si riferisce alla meccanica quantistica ma all'algebra.
Partiamo dai polinomi omogenei, ovvero quei polinomi i cui monomi con coefficiente non nullo sono tutti dello stesso grado. Ad esempio

I polinomi omogenei possono anche essere identificati come forme algebriche, o semplicemente forme. Essi generalizzano le forme quadratiche di grado 3 e superiore e sono stati a lungo chiamati quantici, che quindi sono in realtà polinomi omogenei.
Gli atomi, invece, hanno bisogno di meno presentazioni, soprattutto perché la loro veste nota è quella da anni e anni: sono una struttura della materia dove la carica positiva e neutra è concentrata in un nocciolo centrale pesante, mentre la carica negativa in una nuvola elettronica che si muove continuamente intorno a questo centro a una certa distanza ben stabilita.

L'associazione tra atomi e forme lineari è semplice:
una forma lineare è associata a una monade (un atomo con numero di valenza 1);
una forma bilineare è associata con una diade (atomo con valenza 2);
una forma trilineare con una triade (valenza = 3) e così via.
Ovviamente nel momento in cui si introducono le forme lineari, bilineari e via discorrendo si sta parlando di generalizzazioni dei polinomi. Per forma lineare si intende una funzione f definita su un dato spazio di elementi $\vec x$, $\vec y$ tale che

Una forma bilineare, invece, è una funzione f, sempre definita su un dato spazio di elementi $\vec x$, $\vec y$, tale che

Supponiamo, ora, di avere un sistema di forme lineari di vari gradi. Dalla matematica sappiamo che un tale sistema può possedere dei così detti invarianti, ovvero delle strutture matematiche su cui agiscono i componenti del sistema e che da questi ultimi non vengono modificate. Un tale invariante...

(...) è l'analogo di una sostanza chimica costituita da atomi delle valenze corrisopondenti⁽¹⁾

ai gradi di ciascuna forma lineare che costituisce il sistema.