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martedì 15 febbraio 2011

La chimica e l'algebra

John Joseph SylvesterIn Chemistry and Algebra, John Joseph Sylvester, oltre ad introdurre per la prima volta il termine graph, grafo, propone un parallelo tra chimica e algebra, in particolare tra atomi e binari quantici. Innanzitutto cerchiamo di chiarire il concetto di quantico, che non si riferisce alla meccanica quantistica ma all'algebra.
Partiamo dai polinomi omogenei, ovvero quei polinomi i cui monomi con coefficiente non nullo sono tutti dello stesso grado. Ad esempio

I polinomi omogenei possono anche essere identificati come forme algebriche, o semplicemente forme. Essi generalizzano le forme quadratiche di grado 3 e superiore e sono stati a lungo chiamati quantici, che quindi sono in realtà polinomi omogenei.
Gli atomi, invece, hanno bisogno di meno presentazioni, soprattutto perché la loro veste nota è quella da anni e anni: sono una struttura della materia dove la carica positiva e neutra è concentrata in un nocciolo centrale pesante, mentre la carica negativa in una nuvola elettronica che si muove continuamente intorno a questo centro a una certa distanza ben stabilita.
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L'associazione tra atomi e forme lineari è semplice:
una forma lineare è associata a una monade (un atomo con numero di valenza 1);
una forma bilineare è associata con una diade (atomo con valenza 2);
una forma trilineare con una triade (valenza = 3) e così via.
Ovviamente nel momento in cui si introducono le forme lineari, bilineari e via discorrendo si sta parlando di generalizzazioni dei polinomi. Per forma lineare si intende una funzione f definita su un dato spazio di elementi $\vec x$, $\vec y$ tale che


Una forma bilineare, invece, è una funzione f, sempre definita su un dato spazio di elementi $\vec x$, $\vec y$, tale che


Supponiamo, ora, di avere un sistema di forme lineari di vari gradi. Dalla matematica sappiamo che un tale sistema può possedere dei così detti invarianti, ovvero delle strutture matematiche su cui agiscono i componenti del sistema e che da questi ultimi non vengono modificate. Un tale invariante...
(...) è l'analogo di una sostanza chimica costituita da atomi delle valenze corrisopondenti(1)
ai gradi di ciascuna forma lineare che costituisce il sistema.
Possiamo immaginare, per vederlo meglio, un invariante come un vettore (d'altra parte per definire chiaramente una forma lineare si usano vettori e spazi vettoriali in particolare, anche se si intende sempre qualcosa di più generale). Questo vuol dire che possiamo anche definire una sorta di ordine di questa invariante che banalmente corrisponde alla dimensione del sottospazio generato da questo vettore, ovvero il numero di componenti non nulle presenti nel vettore.
Ad esempio un vettore del tipo (0, 0, 1, 0, 1, 0), anche se è un oggetto di 6 dimensioni, genera uno spazio di due dimensioni, perché 2 sono le componenti non nulle.
Così definito l'ordine di un invariante, questo può essere a sua volta associato alla valenza:
L'ordine di tale invariante in ogni sistema di coefficienti è lo stesso del numero di atomi della corrispondente valenza nel composto chimico(2).
Si può fare un ragionamento simile anche per il co-variante, che rappresenta in probabilità la misura di quanto due grandezze variano, associandolo però con un composto radicale, ovvero un composto dove si trovano elettroni spaiati.
Il peso di un invariante, poi è identico al numero di legami nel diagramma di Kekulean, ovvero il diagramma in due dimensioni con cui si rappresenta. Stesso discorso per i co-varianti. A questo punto Sylvester introduce per la prima volta la parola grafo:
Ogni invariante e co-variante così diventa esprimibile da un grafo precisamente identico con un diagramma di Kekulean o chemicografo(3).
Come ha mostrato in On an Application of the New Atomic Theory to the Graphical Representation of the Invariants and Covariants of Binary Quantics, with Three Appendices(4) sull'American Journal of Mathematics I. del 1878, non necessariamente ad ogni grafo algebrico corrisponde un chemicografo:
In un composto algebrico (in senso algebrico) m atomi n-valenti possono essere sostituiti da m atomi n-valenti. Ma si dovrebbe osservare che questa sostituzione coinvolge un'intera ricostruzione del grafo rappresentativo ed esprime la nozione della rispondenza o della contrapposizione piuttosto che della similarità dei tipi(5).
L'articolo da cui ho tratto la citazione non sono ancora riuscito a leggerlo tutto, però dalla veloce lettura che ho dato, ho intuito che le regole di composizione sembrano essere non dissimili a quelle della teoria dei gruppi, ovvero quelle sviluppate a partire da Galois, che proprio per risolvere equazioni di grado superiore al 5.o con strumenti matematici differenti dalle operazioni usuali (somme e moltiplicazioni, per intenderci) ha di fatto dato il via alla teoria dei gruppi e delle rappresentazioni.
Una sua applicazione alla chimica, che mi ha sempre colpito e che possiamo notare nelle figure di accompagnamento di Sylvester (più sotto, prima delle note), è l'associazione di ogni forma geometrica che gli atomi costruiscono con ben determinate simmetrie e, quindi, con alcuni specifici gruppi di simmetria. Non solo: bastano anche delle piccole variazioni (aggiunta o sottrazione di uno o più atomi - fig.6-10; cambio di valenza - fig.19-20) per modificare il chemicografo e dunque la struttura geometrica e la simmetria del composto chimico in esame.
E' certo un argomento interessante, quello che ho velocemente tratteggiato, e che, senza alcuna promessa, spero di approfondire in futuro, magari partendo proprio da On an Application of the New Atomic Theory to the Graphical Representation of the Invariants and Covariants of Binary Quantics, with Three Appendices di Sylvester.

SYLVESTER, J. (1878). Chemistry and Algebra Nature, 17 (432), 284-284 DOI: 10.1038/017284a0
(1) An invariant of a system of binary quantics of various degrees is the analogue of a chemical substance composed of atoms of corresponding valences.
(2) The order of such invariant in each set of coefficients is the same as the number of atoms of the corresponding valence in the chemical compound.
(3) Every invariant and co-variant thus becomes expressible by a graph precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph.
(4) L'articolo fa parte del terzo volume di The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester a partire da pagina 148.
(5) In an algebraic compound (in algebraic sense) m n-valent atoms may be replaced by m n-valent ones. But it should observed that this replacement involves an entire reconstruction of the representative graph and conveys the notion of respondence or contraposition rather than similarity of type.

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