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martedì 19 aprile 2011

Ritratti: Stanislaw Ulam

Considerato da molti il vero padre della bomba H, Stanislaw Ulam, matematico polacco, collaborò alla sua progettazione insieme con Edward Teller in quello che è giustamente definito come il progetto di Teller-Ulam. C'è chi considera, in questo senso, Teller più una madre che un padre, visto che seguì successivamente il progetto stesso. Ulam, in effetti, nel 1947 propose una idea decisamente più pacifica dell'uso dell'energia nucleare: utilizzarla per la propulsione dei razzi e per l'esplorazione dello spazio.
Andiamo, però, con ordine: Ulam nasce il 13 aprile del 1909 in Polonia da una famiglia ebrea. Sin da giovane si dimostra interessato alla scienza, fisica e astronomia in particolare, tanto che un suo zio gli regala per il 12.mo compleanno un telescopio. Sempre in quel periodo inizia a interessarsi della relatività ristretta (o speciale) di Einstein: per raggiungere il suo obiettivo, però, necessitava di conoscenze matematiche più approfondite e così all'età di 14 anni inizia a studiare la matematica:
(...) Avevo 16 anni quando imparai veramente il calcolo con tutto me stesso da un libro di Kowalevski, tedesco da non confondersi con Sonia Kovalevskaya (...) Allora lessi anche qualcosa sulla teoria degli insiemi in un libro di Sierpinski e pensai di averla compresa. Avevamo un buon professore alle superiori, Zawirski, che era un lecturer di logica nell'università. Parlai con lui allora e quando entrai al Politecnico.(1, 2)
Un vero e proprio precursore di Jacob Barnett, 12enne talentuoso che, sembra, stia studiando e forse ampliando la relatività einsteiniana.
Torniamo a Ulam: armato della sua preparazione in fisica, astronomia e matematica, Stanislaw entra nel Politecnico di Lvov, la sua città natale, nel 1927. Sempre a Lvov ottiene, nel 1933, il dottorato studiando con Banach. Quest'ultimo aveva iniziato a lavorare su un vecchio problema di Lebesgue del 1902 riguardo l'intervallo [0,1]. Banach risolse la questione nel 1929, assumento una ipotesi del continuo generalizzata: Ulam, l'anno successivo, riuscì ad ottenere lo stesso risultato di Banach senza assumere l'ipotesi del continuo generalizzata usata dal suo maestro.
Nel 1935, su invito di von Neumann va all'Institute for Advanced Study di Princeton per alcuni mesi. Qui incontra Birkhoff, che lo invita ad Harvard. Ritornato in Polonia, inizia una intensa attività matematica:
La vita matematica polacca era molto intensa, i matematici si vedevano spesso nei caffé come lo Scottish Cafe e il Roma Cafe. Sedevamo lì per ore e facevamo matematica. Durante l'estate lo facevo di nuovo. E poi nel '39, lasciai veramente la Polonia circa un mese prima dell'inizio della Seconda Guerra Mondiale(1, 2).

E' il 1940 e Ulam arriva nel Wisconsin come assistant professor. Grazie all'interessamento di von Neumann, che lo invita a impegnarsi per lo sforzo bellico contro la Germania di Hitler, entra nel progetto Manhattan e lavora così con Teller: è il 1943, lo stesso anno in cui diventa cittadino statunitense. Stanislaw, così, si sposta ai Laboratori di Los Alamos.
E' in questo periodo che sviluppa il metodo Monte Carlo insieme con Nicholas Metropolis(3, 4), con lo stesso von Neumann e altri.
Risale al 1946-47 l'idea di utilizzare l'energia nucleare per la propulsione: evidentemente questa idea non era molto ben vista tra i responsabili del progetto Manhattan, visto che in quel periodo Rota(5) rileva un cambiamento nel carattere di Ulam. Potremmo dire che questo fu il periodo in cui in effetti abbandonò il progetto sviluppato con Teller.
Essenzialmente questo progetto era strutturato in tre fasi principali:
  1. separazione delle fasi in un trigger "primario" esplosivo e in uno "secondario" più potente,
  2. compressione del "secondario" a causa dei raggi-X che provengono dalla fissione nucleare del "primario", un processo detto implosione di radiazione del "secondario", e
  3. riscaldamento del secondario, dopo la compressione di raffreddamento, a causa della seconda esplosione della fissione all'interno del "secondario".
  4. (da Wikipedia)
La geometria del progetto viene oggi recuperata dal NIF per usi pacifici all'interno della facility sulla fusione laser (di cui vi riferirò, spero presto, i primi risultati).
Ulam, invece, si dedicò al Progetto Orion. L'idea alla base del progetto venne proposta da Freeman Dyson che suggerì di far esplodere una piccola bomba atomica (0,1 chilotoni) all'interno di una camera di combustione del diametro approssimativo di 40 metri. Verrebbe poi iniettata dell'acqua all'interno della camera di combustione, surriscaldata dell'esplosione atomica, e quindi utilizzata per la propulsione vera e propria. Si dovrebbe ripetere il processo, e per ogni spinta generata da una esplosione atomica aumenterebbe la velocità del veicolo.
Un progetto di questo genere presenta vari problemi, primo fra tutti l'eventuale distruzione del veicolo stesso. Ulam, però, propose una variante sul progetto di Dyson: le bombe nucleari e la massa della reazione potrebbero semplicemente essere allontanate dal veicolo ed esplodere a una certa distanza da esso (forse 60 metri). L'esplosione genererebbe un'onda che impatterebbe contro un sottile piatto acciaio o di alluminio sul retro del veicolo, spingendolo così ad avanzare. Inoltre, sarebbe possibile progettare l'unità del propellente in modo tale che la maggior parte dell'energia proveniente dalla bomba sarebbe diretta verso il piatto piuttosto che in altre direzioni.
Venne anche realizzato un prototipo con tanto di test (video su YouTube).
Il progetto al momento è accantonato.

Nel campo della matematica, invece, mi piace raccontarvi di un paio di simpatiche scoperte di Ulam. Iniziamo con la spirale di Ulam: questa è una spirale costituita da tutti i numeri naturali, dai quali successivamente vengono tolti tutti quelli che non sono primi. L'idea era quella di vedere l'esistenza di una qualche tendenza tra i numeri primi. E in effetti si nota una trama:

L'immagine, che rappresenta una spirale di Ulam di 200×200, risulta identica indipendentemente dal numero da cui parte la spirale. Questo suggerisce che la funzione \[f(n) = an^2 + bn + c\] con n intero, genera numeri primi per una gran quantità di valori delle costanti a, b, c. Ad esempio con i valori, rispettivamente, di 1, 1, 17, sostituendo i primi 16 numeri naturali a partire da 0 e fino a 15 si ottengono 16 numeri primi: la scoperta è, forse non stupisce, del grande Eulero.
La spirale, comunque, venne scoperta da Ulam nel 1963, sette anni dopo che Clark usò un concetto simile in The City and the Stars (1956). Riprendo il passaggio originale dal racconto, citato su Math World:
Jeserac sat motionless within a whirlpool of numbers. The first thousand primes.... Jeserac was no mathematician, though sometimes he liked to believe he was. All he could do was to search among the infinite array of primes for special relationships and rules which more talented men might incorporate in general laws. He could find how numbers behaved, but he could not explain why. It was his pleasure to hack his way through the arithmetical jungle, and sometimes he discovered wonders that more skillful explorers had missed. He set up the matrix of all possible integers, and started his computer stringing the primes across its surface as beads might be arranged at the intersections of a mesh.
Secondo Ed Pegg, Jr. l'erpetologo Laurence Klauber propose una spirale simile a quella di Ulam nel 1932 alla Mathematical Association of America.
L'ultima curiosità, e poi la finisco qui, riguarda i così detti numeri di Ulam, scoperti da Stanislaw nel . Vediamo cosa sono.
Si parte con il definire i primi due numeri della serie, $U_1 = 1$ e $U_2 = 2$. A questo punto, per ogni n intero maggiore di 2, $U_n$ è definito come il più piccolo intero che è somma di due distinti termini della serie che lo precedono in esattamente un unico modo.
Per meglio vedere, ecco i primi termini della serie: \[1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99\] L'assenza del 5 è utile per specificare la dicitura esattamente in un unico modo: il 5 infatti può essere scritto come 4+1 ma anche come 3+2, e quindi non può entrare nella serie. Stesso ragionamento per il 7, mentre l'8, visti i termini che lo precedono, può essere scritto solo come 6+2 (4+3+1 sono tre termini distinti) e quindi può far parte della serie. 4, poi, noteranno i più attenti, può essere scritto come 2+2 e 3+1, ma fa parte della serie perché c'è la condizione che i termini devono essere distinti, e quindi 2+2 è una somma, diciamo, non ammissibile. La salvezza del 4, evidentemente, salva tutti i numeri pari all'interno dei numeri di Ulam. Infine vi invito a notare il 13.mo numero di Ulam: vi ricorda qualcosa?
Mentre pensate alla risposta, diamo intanto un'occhiata alla rappresentazione grafica della serie di David Wilson

Vi ricorda vagamente una struttura ordinata come la spirale di Ulam? Ebbene Alois Heinz l'ha realizzata, la spirale di Ulam dei numeri di Ulam!

Avviamoci alla fine con un paio di citazioni, la prima dello stesso Ulam:
Una conversazione centrata sul sempre più rapido progresso della tecnologia e dei cambiamenti nello stile di vita umano, che porta alla comparsa di un avvicinamento di alcune essenziali singolarità nella storia della razza umana così come la conosciamo, non poté continuare.
In questa occasione si riferisce a una discussione con von Neumann avvenuta nel 1958: è a questa citazione che si fa risalire la creazione del concetto di singolarità tecnologica, un'altra delle idee anticipare dal matematico polacco.
L'ultima citazione è di Rota, che così ricorda Ulam:
La mente di Ulam è un archivio di migliaia di storie, racconti, giochi, epigrammi, osservazioni, puzzle, scioglilingua, note a piè pagina, conclusioni, slogan, formule, diagrammi, citazioni, limerick, riassunti, battute, epitaffi e titoli. Nel corso di una normale conversazione egli semplicemente estrae dalla sua mente quella cinquantina di elementi rilevanti e li presenta in successione lineare. Una memoria del secondo ordine lo previene dal ripetere se stesso troppo spesso prima dello stesso pubblico.
Ulam, dunque, che se fosse vissuto abbastanza da vedere Wikipedia, probabilmente si sarebbe iscritto, ci ha lasciato un ricco patrimonio di idee nei campi della fisica e della matematica, dimostrandosi certo una delle menti più geniali e precoci del XX secolo. Forse ciò che non lo fa ricordare ai livelli dei più grandi fu proprio questa sua molteplicità di interessi e il suo legame con il progetto della bomba H, progetto che, come abbiamo visto, mutò in un sogno, quello della conquista dei cieli.

Biografie:
Wikipedia
McTutor
Project Orion, che raccoglie una breve biografia, una pagina sul funzionamento del progetto, con tanto di timeline.

(1) M Feigenbaum, An interview with Stan Ulam and Mark Kac, J. Statist. Phys. 39 (5-6) (1985), 455-476.
(2) M Feigenbaum, Reflections of the Polish masters - an interview with Stanislaw Ulam and Mark Kac, Wiadom. Mat. 30 (1) (1993), 93-114.
(3) Monte Carlo Method su Mathworld
(4) Metropolis, N. and Ulam, S. The Monte Carlo Method, J. Amer. Stat. Assoc. 44, 335-341, 1949.
(5) G-C Rota, The lost café (pdf), Contention 2 (1993), 41-61.

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