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giovedì 12 giugno 2014

Il dilemma di Tarzan

Un giorno, nelle sue scorribande nella giungla, il prode Tarzan, re delle scimmie, si imbatte in un'ampia pozza di sabbie mobili. L'unico modo per evitarla è saltare e aggrapparsi a una liana, per poi lasciarsi andare verso la sponda opposta. Quale è l'angolo migliore per superare sano e salvo le sabbie mobili?
L'aspetto più interessante di questo problema non sta tanto nel problema in sé, ma per il suo possibile utilizzo multidisciplinare, così come suggerito da Tave e Sayers(1): il problema, infatti, indicato per un qualunque quarto anno di liceo (scientifico in particolare), permette di utilizzare le conoscenze di trigonometria, di fisica e di informatica.
La trigonometria è, in maniera abbastanza semplificata, lo studio degli angoli. Si possono, poi, definire le tre funzioni trigonometriche principali (seno, coseno e tangente, che è il rapporto tra le due precedenti) e la circonferenza goniometrica, una circonferenza molto utile per identificare al volo alcuni degli angoli notevoli e i valori delle funzioni trigonometriche di seno e coseno. Quando nel gioco iniziamo a introdurre i triangoli, prima, e le figure geometriche un po' più complesse poi, allora la trigonometria inizia a farsi interessante: è possibile, infatti, applicare le conoscenze acquisite e i teoremi trigonometrici a fatti quotidiani, come per esempio la misurazione delle distanze, sia tra oggetti a terra, sia tra corpi celesti. E come, è intuibile, ha la sua utilità anche di fronte a problemi e situazioni dinamiche, come per esempio il dilemma di Tarzan qui proposto.
Innanzitutto iniziamo a fare alcune considerazioni fisiche essenziali per descrivere la dinamica di Tarzan: la liana deve avere una massa e delle proprietà elastiche trascurabili, questo per permetterci di non considerare il momento della liana stessa e l'eventuale forza elastica che entrerebbe in gioco. Dobbiamo, poi, immaginare che, in qualche modo, il centro di massa di Tarzan coincida con l'estremità della liana. Infine dobbiamo considerare attriti e resistenza dell'aria trascurabili.
Fatte queste assunzioni di partenza, si può iniziare a descrivere fisicamente il fenomeno: Tarzan si attacca alla liana e compie per un certo tempo un moto circolare, vincolato alla liana stessa, fino a che non la molla per proseguire con un moto parabolico, il tutto all'interno di un campo gravitazionale che tenderà ad attirarlo verso il basso.
Come è semplice intuire, il moto si svolge in due dimensioni, quindi per descriverlo avremo la necessità di scrivere almeno due equazioni, e qui diventa importante la trigonometria, perché consentirà di scomporre il moto in maniera corretta (se ben applicata): in questo caso può esser utile, come raccomandano i due autori, prima operare un breve ripasso del moto di un proiettile, che poi è il moto parabolico propriamente detto: \[R = \frac{v_0^2 \sin 2 \theta}{g}\] dove $R$ è la gittata del proiettile.
Più complesso il caso di un oggetto che viene lanciato da una torre con una data inclinazione $\theta$ rispetto all'orizzontale. In questo caso, per determinare la gittata, abbiamo necessità di calcolare prima di tutto il tempo di caduta del proiettile: questo permetterà di rispolverare l'equazione del moto uniformemente accelerato, sempre senza dimenticare la trigonometria per la scomposizione della velocità nelle sue componenti.
Una volta che gli studenti hanno rinforzato le loro capacità di calcolo con questi due esempi, possono passare al calcolo della gittata di Tarzan: in questo caso l'attenzione dovrà essere tutta prestata nelle capacità degli studenti di riuscire, da soli o in gruppo, a descrivere nel modo migliore il problema e a portare avanti dei calcoli puramente simbolici. Uno dei punti fondamentali del dilemma è, infatti, la possibilità di utilizzarlo per sviluppare le capacità di calcolo astratto (o simbolico) degli studenti, che altrimenti, per la maggior parte e spesso anche negli indirizzi scientifici, sarebbero portati a sostituire i dati del problema. Il punto è che non necessariamente i problemi reali hanno delle condizioni al contorno ben definite.
Ad ogni modo, una volta determinata l'equazione risolutrice, date le condizioni iniziali, per rispondere al quesito posto dal nostro dilemma si deve, necessariamente, utilizzare l'informatica, con lo scopo di tracciare il grafico della funzione gittata (introducendo così allo studio di funzioni per il quinto anno): mentre leggevo l'articolo, pensavo che due possono essere gli approcci informatici al problema.
Il primo utilizzando Mathematica o altri software di calcolo simbolico (come il gratuito Mathics, per esempio): da una parte questo è forse molto più indicato per un primo anno delle università, ma non credo che si debba escludere a priori anche per un liceo. Il vantaggio che vedo sta proprio nell'iniziare a mostrare agli studenti le potenzialità di questo genere di programmi, sia per quel che riguarda il calcolo, sia per quel che riguarda il disegno.
D'altra parte un buon grafico può essere realizzato anche utilizzando un foglio elettronico, permettendo così di rispolverare anche il concetto di errore: il foglio elettronico, infatti, non produrrà una funzione continua, ma necessita di una serie di punti discreti, e quindi, inevitabilmente, la risposta dovrà essere fornita con l'indicazione dell'errore.
Una volta acquisiti anche gli aspetti informatici, si può infine iniziare anche a giocare con le condizioni iniziali, modificandole e vedendo come si modifica la soluzione stessa del problema.
In definitiva un problema interessante e divertente, anche abbastanza creativo, che permette di sviluppare differenti competenze, introducendo anche i ragazzi gradualmente ma con l'esperienza diretta verso un pensiero scientifico sempre più sofisticato. A tal proposito potrebbe essere interessante, anche se richiede un lavoro più sofisticato dal punto di vista informatico, cercare di capire quanto lontano è in grado di saltare Tarzan(2): in questo caso le difficoltà fisiche e matematiche di partenza non sono superiori a quelle del dilemma.
P.S.: in effetti è stata cercata e trovata anche una soluzione completamente analitica. Carl Mungan(3) ha trovato un'equazione polinomiale di terzo grado la cui unica soluzione reale può essere determinata con la formula di Cardano.
(1) Rave M. & Sayers M. (2013). Tarzan's Dilemma: A Challenging Problem for Introductory Physics Students, The Physics Teacher, 51 (456) DOI:
(2) Hiroyuki Shima (2012). How far can Tarzan jump?, Eur. J. Phys. 33, 33 (6) 1687-1693. DOI: (arXiv)
(3) Mungan C.E. (2014). Analytically solving Tarzan's dilemma, The Physics Theacher, 52 (6) DOI: (pdf)

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