Paralipomeni di Alice: I due razzi

Dopo il problema del demone e della formica, ripesco un altro problema che mi aveva lasciato perplesso all'interno del volume Funzioni ed equazioni· Il testo di Maurizio Codogno raccontava di due razzi che l'impero di Star Wars lancia uno contro l'altro per dimostrare di essere in grado di colpire un bersaglio in movimento. I dati del problema erano tali per cui era possibile risolverlo senza alcuna conoscenza di balistica, rendendo il problema pressocché assurdo (in pratica i razzi si muovono con una traiettoria a forma di gradino!). E così ho pensato di riproporvi il problema stesso ma raccontando il testo in modo tale che sia più naturale applicare le leggi del moto uniformemente accellerato in due dimensioni. Il testo che segue è quindi una leggera variazione del testo originale:

In una scena del film Star Wars: episodio 42, l'Impero intende mostrare la sua abilità nel colpire bersagli in movimento ad alta velocità. Vengono lanciati due missili da due basi poste a 1400 km l'una dall'altra. I due razzi raggiungono la quota di 10 km (che non è la quota massima) rispettivamente in 30 e 20 secondi. Sapendo che il primo missile ha una velocità di 3700 km/h e il secondo di 2300 km/h, ci sarà collisione tra i due razzi? E dove?

Il dilemma di Tarzan

Un giorno, nelle sue scorribande nella giungla, il prode Tarzan, re delle scimmie, si imbatte in un'ampia pozza di sabbie mobili. L'unico modo per evitarla è saltare e aggrapparsi a una liana, per poi lasciarsi andare verso la sponda opposta. Quale è l'angolo migliore per superare sano e salvo le sabbie mobili?

L'aspetto più interessante di questo problema non sta tanto nel problema in sé, ma per il suo possibile utilizzo multidisciplinare, così come suggerito da Tave e Sayers⁽¹⁾: il problema, infatti, indicato per un qualunque quarto anno di liceo (scientifico in particolare), permette di utilizzare le conoscenze di trigonometria, di fisica e di informatica.
La trigonometria è, in maniera abbastanza semplificata, lo studio degli angoli. Si possono, poi, definire le tre funzioni trigonometriche principali (seno, coseno e tangente, che è il rapporto tra le due precedenti) e la circonferenza goniometrica, una circonferenza molto utile per identificare al volo alcuni degli angoli notevoli e i valori delle funzioni trigonometriche di seno e coseno. Quando nel gioco iniziamo a introdurre i triangoli, prima, e le figure geometriche un po' più complesse poi, allora la trigonometria inizia a farsi interessante: è possibile, infatti, applicare le conoscenze acquisite e i teoremi trigonometrici a fatti quotidiani, come per esempio la misurazione delle distanze, sia tra oggetti a terra, sia tra corpi celesti. E come, è intuibile, ha la sua utilità anche di fronte a problemi e situazioni dinamiche, come per esempio il dilemma di Tarzan qui proposto.

Archimede e il primo laser della storia

Nella puntata di ieri pomeriggio dell'edizione italiana di Iron Man: Armored Adventures (seconda serie) intitolata All The Best People Are Mad, la folle compagnia di scuola di Tony Stark, Rhona Burchill, idea un piano complesso per vendicarsi di Tony e della sua intelligenza mettendo in pericolo i suoi amici. Il piano è costituito da una serie di trappole mortali che Tony può sventare rispondendo a una serie di domande. La prima, che vede Pepper Potts in pericolo, è qualcosa del genere:

Chi ha inventato il primo laser della storia?

L'indizio per risolvere il quesito (che Rhona è anche gentile, oltre che geniale, pazza e vendicativa) è che quest'uomo è riuscito a sconfiggere una flotta intera. La risposta data da Tony è Archimede. Il problema è che è sbagliata, visto che venne dimostrato successivamente che il sistema dei così detti specchi ustori non era per nulla sufficiente a incendiare le navi romane che stavano avvicinandosi a Siracusa, ma a quanto pare gli sceneggiatori della bella serie animata non sembrano saperlo!
Per chiarire meglio la storia mi avvalgo di un lungo post che pubblicai nel 2010 da cui estraggo il seguente passaggio:

---

Ritratti: Ernst Mach

Nel 1911 John McGregor concludeva così la mini biografia uscita sull'Encyclopaedia Britannica:

Tutta la sua teoria appare viziata dalla confusione tra fisica e psicologia.

E potrebbe anche essere così, agli occhi di un suo contemporaneo, ma visto con gli occhi di oggi Ernst Mach è uno dei tanti geni che il passato ci ha regalato. E lo riteneva un genio, o comunque molto vicino ad esserlo, anche Albert Einstein, che riferendosi a se stesso diceva di essere uno studente di Mach. Quello che infatti lo stesso Einstein battezzò come principio di Mach, fu indubbiamente di grande importanza per lo sviluppo delle sue teorie relativistiche.
Il principio si occupa dell'inerzia: partiamo da un secchio pieno d'acqua appeso a una corda a sua volta legata al soffitto. Se mettiamo in rotazione il secchio l'acqua al suo interno passerà dall'essere piatta nel caso del secchio fermo, al curvarsi nel caso del secchio in rotazione. In assenza dell'acqua un qualunque osservatore solidale con il secchio, come ad esempio una mosca seduta sul bordo superiore, potrebbe tranquillamente supporre che sia la stanza a ruotare e non il secchio stesso. Secondo Mach, però, questa discussione, che è una variazione su quanto scritto da Newton nei Principia, è incompleta a causa dell'assunto per nulla generale dello spazio assoluto. Bisogna quindi riformulare il principio di inerzia partendo dalla semplice osservazione del moto delle parti distanti dell'universo. In questo caso Mach propone il seguente cambio di paradigma: non più immaginare che sia un caso che la velocità di rotazione della Terra sia in accordo con le parti distanti dell'universo, ma suppore che le parti distanti dell'universo giocano un qualche ruolo nella formulazione delle leggi della meccanica locali⁽⁴⁾.
O formulando il principio in una maniera più generale, proposta da Hawking e Ellis nel 1973:

Le leggi fisiche locali sono determinare dalla struttura a grande scala dell'universo.

Il principio venne originariamente formulato da Mach nel 1883 su Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt (La meccanica nel suo sviluppo storico-critico).
Si può ben comprendere come Einstein fosse fermamente convinto del fatto che Mach sarebbe riuscito a scoprire la teoria della relatività ristretta con cinquanta anni di anticipo se solo la fisica avesse preso in seria considerazione la costanza della velocità della luce, sperimentalmente evidente già a quell'epoca.⁽²⁾
Ciò per cui è, però, soprattutto noto è il numero di Mach, che rappresenta il rapporto tra la velocità di un oggetto e la velocità del suono nel mezzo in cui quell'oggetto si sta muovendo: \[M = \frac{v_{\text{oggetto}}}{v_{\text{suono}}}\] Ad esempio Felix Baumgartner, nella sua caduta libera di ottobre 2012, ha raggiunto una velocità massima stimata di circa $370 m/s$ mentre si trovava all'interno della stratosfera⁽¹⁾. In questa porzione dell'atmosfera, caratterizzata da basse temperature a da bassa densità, la velocità del suono è fortemente influenzata dalle variazioni di temperatura, anche se si potrebbe stimare la velocità del suono in circa $300 m/s$ (poco più o poco meno) il che porta a un numero di Mach per Baumgartner di circa: \[M_B = \frac{370}{300} = 1.2\] o poco più.
Mach, però, come vedremo, si è interessato di diversi argomenti nella fluidodinamica, lasciando un segno decisamente indelebile.

Nato il 18 febbraio del 1838 da Johann Mach e Josephine Langhans a Chirlitz-Turas, in Moravia, era, seguendo la sua stessa descrizione, un debole pietoso bambino che si è sviluppato molto lentamente⁽²⁾. Il padre, che lavorava come istitutore presso una famiglia nobiliare, aveva studiato filosofia a Praga e si interessava di psicologia animale e agricoltura. Uno dei suoi risultati fu dare inizio alle colture di bachi da seta in Europa⁽²⁾.
D'altra parte la madre era un'artista: musicista, disegnatrice, poetessa. E, come il padre, persona idealistica e solitaria⁽²⁾: quel che si direbbe oggi nerd.