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lunedì 21 marzo 2016

Breve storia del pi greco - parte 4

Come da tradizione, sebbene con un certo ritardo su quanto avessi preventivato, ecco arrivare la quarta parte della "breve storia del pi greco", costruita con le notizie pi greche estratte dal Carnevale della Matematica #95

da Science: a Discovery in Comics di Margreet de Heer
Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.
L'idea di Liu Hui è quella di calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro per iterazione, calcolando il perimetro di figure inscritte in una circonferenza di raggio $r$ con un numero di lati sempre maggiore. Supponiamo che il segmento $AB = p_{n-1}$ nella figura sia il lato di un poligono regolare con un numero di lati $N = 3 \cdot 2^{n-1}$. $AY$ sarà la metà di $AB$, e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora \[OY = \sqrt{r^2 - \left ( \frac{p_{n-1}}{2} \right )^2}\] da cui per sottrazione la lunghezza di $XY$. Questo vuol dire che, utilizzando ancora una volta Pitagora, si riesce a ricavare la lunghezza $AX$, che è la lunghezza del lato del poligono regolare con numero di lati $N = 3 \cdot 2^n$: \[p_n = \sqrt{r \left ( 2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2} \right )}\] Ponendo $r=1$, il valore approssimato del pi greco sarà dalla metà di $p_n$. Aumentando $n$, e quindi il numero dei lati della figura, aumenta la precisione del calcolo. Liu Hui ottenne come approssimazione 3.14159, che corrisponde a un $n$ di 3072.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]

mercoledì 16 marzo 2016

Dimostrazione mirabile

Come ormai saprete ieri è stato assegnato il premio Abel a Andrew Wiles, il matematico britannico che nel 1994 è riuscito a dimostrare dopo molti secoli di tentativi più o meno infruttuosi il famoso ultimo teorema di Fermat. La storia ve la risparmio, (anche perché ne ho scritto su Medium, riunendo e rielaborando insieme un paio di post che avevo precedentemente scritto proprio per DropSea), però vorrei ripescare dai miei archivi una storia che reputo interessante: il tentativo di Daniele De Pedis di ricostruire la demonstrationem mirabilem di Pierre de Fermat del suo famoso teorema.
De Pedis, intervistato a fine 2011 da Popinga in occasione dell'uscita del suo romanzo Il mondo sotto chiave, aveva caricato su arXiv giusto qualche mese prima un articolo in cui proponeva una possibile dimostrazione del teorema ragionevolmente alla portata dello stesso Fermat.
In pratica, per farla breve, Daniele De Pedis utilizza lo sviluppo polinomiale di un binomio per ridurre la dimostrazione del teorema a quella che una determinata equazione polinomiale ottenuta a partire dal teorema di Fermat non possiede soluzioni.
Gli elementi interessanti della dimostrazione sono, però, l'uso dei coefficienti binomiali (che nella notazione moderna, usata nell'articolo, sono stati introdotti nel 1826), noti sin dal decimo secolo, e la ricerca delle radici di equazioni di grado generico.
Al di là della completezza della dimostrazione, ciò che però sarebbe stato il maggiore ostacolo per Fermat è proprio la parte relativa alla ricerca delle radici delle equazioni polinomiali: è ovvio che dimostrare l'assenza di soluzioni di un'equazione polinomiale a parte l'eventuale soluzione banale è cosa ben diversa rispetto a trovare le eventuali soluzioni dell'equazione. Per cui, pur con tutto il rispetto, penso che quella su arXiv sia la dimostrazione mirabile di De Pedis!

lunedì 14 marzo 2016

Carnevale della Matematica #95

Come da tradizione degli ultimi anni, anche per questo 2016 il Carnevale della Matematica del 14 marzo, il pi day, è ospitato sulle pagine elettroniche di DropSea. Dopo la tradizionale edizione san valentina dei Rudi Mathematici, in numero pari come ogni anno, arriva dunque l'edizione dedicata al numero di Archimede, anch'essa come ogni anno di numero dispari, per la precisione #95.
A differenza del numero dell'edizione precedente, il 95 è un numero composto i cui fattori primi sono 5 e 19. Poiché la somma dei divisori, cui viene incluso anche l'1, è 25 < 29, il numero è detto difettivo. D'altra parte essendo 5 e 19 numeri primi, ciò permette al 95 di essere un semiprimo, ovvero un numero generato da due numeri primi, non necessariamente distinti.
E' il sesto numero di Thabit (dal matematico Thābit ibn Qurra), ovvero un numero intero della forma \[3 \cdot 2^n -1\] I matematici greci classificavano i numeri anche in base alla loro disposizione geometrica. Immaginiamo di identificare un numero con la quantità di sassi necessaria per rappresentarlo. Se ad esempio prendiamo il 3, i sassi che lo identificano si possono disporre come un triangolo, e quindi il 3 è un numero triangolare. Se invece prendiamo il 4, esso può essere disposto per formare un quadrato, da cui un numero... quadrato!
Ovviamente si può proseguire definendo numeri per ciascuna figura geometrica regolare a partire dalla seguente definizione: \[P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1\] che può essere ridotta utilizzando la definizione dei numeri triangolari: \[P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n\] con \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] In tutto questo il 95 è un numero endecagonale, ovvero che può essere disposto come un endecagono, figura geometrica regolare di 11 lati.
Restando nel campo della geometria, il 95 è poi presente nelle seguenti terne pitagoriche:
(57, 76, 95), (95, 168, 193), (95, 228, 247), (95, 900, 905), (95, 4512, 4513)
Un'ultima curiosità sul 95 è legata alla funzione di Mertens, a sua volta legata alla funzione di Möbius $\mu (n)$. Tale funzione, senza entrare eccessivamente nei dettagli, classifica i numeri interi positivi in tre categorie, identificate dai numeri -1, 0, +1. La funzione di Mertens associa a un dato intero positivo $n$ la somma dei valori della funzione di Möbius calcolata fino al dato $n$: \[M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)\] Questa funzione è oscillante, nel senso che salta tra vari valori, ma nei primi 100 naturali assume essenzialmente valori negativi con un massimo di 1. Ebbene proprio con il 95 la funzione di Mertens sfonda per la prima volta questo limite superiore assumendo il valore di 2.

mercoledì 9 marzo 2016

Il palinsesto di Archimede


Vignetta di John Johnson da A Conversation with Archimedes (pdf) di Ezra Brown
Il 29 ottobre del 1998 presso la casa d'aste Christie's venne venduto un libro di preghiere medioevali. L'asta fu, per certi versi, drammatica: a contendersi il libro furono la Grecia attraverso il console generale a New York, il signor Manessis, e il mercante di libri Simon Finch. Tra lanci e rilanci si arrivò alla ragguardevole cifra di due milioni di dollari battuti da Finch: dopo alcuni interminabili minuti il console greco dovette rinunciare. La Grecia non poteva permettersi l'acquisto del libro che così finì nelle mani di un anonimo mecenate che aveva finanziato la missione di Finch a Christie's.
Ciò che realmente interessava i due avversari, però, non erano le preghiere contenute nel testo, ma quello che era nascosto tra le sue pagine: alcuni trattati redatti dal grande Archimede di Siracusa, tra cui spiccano Sui corpi galleggianti, il Metodo e lo Stomachion.
Nell'ottica del recupero e della conservazione dei testi archimedei, si può considerare una fortuna la vittoria di Finch all'asta del 1998, considerate le recenti difficoltà economiche della Grecia, sebbene è abbastanza automatico chiedersi come sarebbe cambiato il destino del palinsesto e della stessa Grecia in caso di vittoria. Lasciando da parte questo What if...?, concentriamoci sul palinsesto stesso.
Il recupero dei testi
Dopo essersi guardato intorno, il nuovo proprietario del prezioso documento scelse William Noel del museo Walters di Baltimora per prendersi cura del libro e recuperare i testi in esso contenuti, o ancora meglio per cercare le persone e i mezzi adatti allo scopo. In un'operazione di questo genere, la principale difficoltà sta soprattutto nel recuperare le informazioni che interessano, i trattati di Archimede in questo caso, sommersi da altri scritti, per lo più religiosi, o da immagini, come ad esempio le quattro a tema religioso di stile bizantino aggiunte nel 1938 con l'obiettivo di aumentare il valore commerciale del volume.
Allo scopo di recuperare i trattati di Archimede, vennero applicate al palinsesto una serie di tecniche di imaging, come l'elaborazione elettronica delle immagini digitali delle pagine condotta su diverse bande spettrali, come la luce visibile, gli ultravioletti, gli infrarossi. A questa prima acquisizione, avvenuta tra il 2006 e il 2007, ne seguì una successiva che si concentrò su ulteriori 12 bande spettrali, giungendo alla fine all'elaborazione digitale del testo grazie alla tecnica dello pseudocolore, che permette di mettere in rilievo testi nascosti o sovrascritti, come nel caso del palinsesto(1).
La tecnica (apparentemente) più inusitata tra quelle utilizzate sul palinsesto è però quella di bombardare il testo con la luce del sincrotrone. Per portare a termine questo obiettivo è stato necessario l'aiuto dello Stanford Linear Accelerator Center diretto all'epoca da Keith Hodgson:
La luce del sincrotrone viene creata quando gli elettroni che viaggiano alla velocità della luce prendono una traiettoria curva intorno a un anello di accumulazione, emettendo luce elettromagnetica ai raggi X attraverso lunghezze d'onda infrarosse. Il fascio di luce risultante ha caratteristiche che lo rendono ideale per rivelare l'architettura complessa e l'utilità di molti tipi di materia: in questo caso, il lavoro precedentemente nascosto di uno dei padri fondatori di tutta la scienza.
Vista l'importanza scientifica e matematica dei testi contenuti nel palinsesto, è stata necessaria la consulenza di una persona preparata nel campo come lo storico dellamatematica Reviel Netz, che si è impegnato nell'interpretazione e nella ricostruzione (laddove il testo era poco chiaro o mancante) dei trattati archimedei.

lunedì 7 marzo 2016

Brera su Marte: il lancio di ExoMars 2016

cc @stefacrono
L'acronimo ExoMars sta per Exobiology on Mars: la missione, che prevede il lancio di una sonda che orbiterà intorno a Marte con a bordo il lander (una piccola navicella progettata per atterrare sulla superficie di un corpo celeste) Sciaparelli che prenderà dati sulla superficie, verrà lanciata il 14 marzo (o in uno dei 10 giorni successivi) da Bajkonur. Sviluppata congiuntamente dalle agenzie spaziali europea e russa, vede una forte partecipazione tecnologica e scientifica da parte dell'Italia. Il principale obiettivo della missione è quello di cercare tracce di vita (passata o eventualmente presente) su Marte, cui si aggiungono la caratterizzazione e la distribuzione geochimica dell'acqua; lo studio dell'ambiente superficiale e l'identificazione dei possibili rischi per future missioni su Marte; lo studio degli strati subito al di sotto della superficie marziana per comprendere l'evoluzione e l'abitabilità del pianeta.
La missione, che è stata rimandata di un paio di anni, arriva così al suo varo e per festeggiare questo storico evento, l'Osservatorio Astronomico di Brera ha organizzato l'evento Brera su Marte, un incontro che si terrà il 9 marzo dalle 17:30 alle 19:30 presso la Sala della Passione della Pinacoteca di Brera.
Questo il programma della serata:
17:30 Saluti istituzionali:
  • James Bradburne, Direttore Pinacoteca di Brera e Biblioteca Braidense
  • Gianpiero Tagliaferri, Direttore INAF-Osservatorio Astronomico di Brera
17:45 Brera su Marte:
  • Giovanni Schiaparelli su Marte, Agnese Mandrino, Responsabile Biblioteca e archivio INAF-Osservatorio Astronomico di Brera
  • L'esplorazione robotica di Marte, Amalia Ercoli Finzi, Professore emerito di Ricerche Spaziali Politecnico di Milano
  • L'Europa su Marte: la missione EXOMARS (ESA), Franco Bonacina, Responsabile del Dipartimento Comunicazione e Portavoce del Direttore Generale dell'Agenzia Spaziale Europea
  • Le sfide tecnologiche e il contributo italiano, Vincenzo Giorgio, Vice-President Marketing & Sales di Thales Alenia Space e Amministratore Delegato di ALTEC S.p.A.
A seguire: domande-risposte con il pubblico.
L’incontro sarà moderato dal giornalista del Corriere della Sera Giovanni Caprara.
La partecipazione è gratuita e senza prenotazione.

venerdì 4 marzo 2016

Dettatura

E credo passerà molto tempo prima che io riesca a dettare un articolo come questo ottenendo un risultato non semplicemente decifrabile, ma esatto.
Douglas Adams. Da Il salmone del dubbio, trad. Laura Serra.
Questa osservazione stata dettata al cellulare.
La citazione è stata estratta usando l'applicazione Goggles.