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venerdì 2 giugno 2017

Le grandi domande della vita: zero in condotta

Ci avete mai fatto caso che lo zero e l'uovo rotto nel piatto hanno qualcosa in comune? Io no, mai, e continuo a non trovarci nulla di così in comune, nonostante quello che ho scritto per la puntata odierna:
Sei uno zero!
Il fattoriale di un numero intero è il prodtto di tutti i numeri compresi tra il numero stesso e uno. Ad esempio: \[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\] In una lettera a Christian Goldbach datata 26 otobre 1729, il matematico svizzero Daniel Bernoulli provava a generalizzare il fattoriale ai numeri reali(1): \[x! = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( n + 1 + \frac{x}{2} \right )^{x−1} \prod_{i=1}^n \frac{i+1}{i+x}\] Come spesso succedeva ai problemi di quell’epoca, non passò poco tempo che la questione finì nelle mani di Leonard Euler. In un aprima lettera(1) a Goldbach del 13 ottobre 1729, Euler diede una prima definizione della futura funzione Gamma: \[\Gamma(x+1) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( n + 1 \right )^x \prod_{i=1}^n \frac{i}{i+x}\] In una lettera successiva, sempre indirizzata a Godlbach e datata 8 gennaio 1730(1), dimostrò che, per numeri reali maggiori di $-1$, valeva la seguente uguaglianza(2): \[x! = \Pi(x) = \int_0^1 (-\ln t)^x \text{d} t = \int_0^\infty t^x e^{-t} \text{d} t\] La funzione $\Pi(x)$, per $x$ reali e positivi, possiede la seguente proprietà: \[\Pi(x+1) = (x+1) \Pi\] Passano gli anni e si arriva al 1768 quando Euler su Institutionem calculi integralis(1) propose la versione definitiva della funzione $\Gamma (x)$(2): \[\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \text{d} t\] che possiede il seguente legame con la funzione Pi(2): \[\Pi(x) = \Gamma (x+1) = x!\] La funzione Gamma possiede il seguente grafico:
che ci permette di capire se esiste una soluzione all’equazione \[x! = 0\] E come si è visto dal grafico, la risposta è no!
Caduta libera

da Acade al grattacielo de' Paperoni di Don Rosa
Il record di altezza di lancio in caduta libera da pallone aerostatico appartiene ad Alan Eustace, informatico di Google, che il 24 ottobre 2014 si è lanciato da un’altezza di 41 km e 419 m battendo il record precedentemente detenuto dal più famoso Felix Baumgartner e diventando il secondo uomo ad aver superato il muro del suono senza l’ausilio di alcun veicolo.
Un’impresa del genere sembra possa essere compiuta anche da una formica: si dice in giro che se lasciate cadere una formica dalla cima di un grattacielo, questa atterrerà al suolo sana e salva. Per un essere umano può avvenire la stessa cosa su un pianeta 100 volte più largo della Terra?
Prima di tutto, cosa ci fa rompere le ossa quando cadiamo? Quando finiamo con il muso per terra, agisce sulle nostre ossa la forza impulsiva, che è direttamente proporzionale alla variazione di quantità di moto (una grandezza fisica legata alla massa e alla variazione di velocità) e inversamente proporzionale alla durata dell’urto. Per attenuare l’urto si può ridurre la velocità di impatto, ad esempio aumentando l’attrito, o prolungare il tempo dell’urto, ad esempio rotolando o strisciando.
Però, quando si cade da un grattacielo, la soluzione più efficace sembra essere esattamente intrvenire sull’attrito con l’aria. D’altra parte nell’universo non esistono pianeti rocciosi 100 volte più larghi della Terra, quindi difficilmente si riuscirebbe a costruire un grattacielo su tali pianeti, però prendendo per puro gusto accademico la domanda, per poter rispondere è anche necessario avere un’idea della massa e dunque della densità del pianeta in questione. Facendo un po’ di conti, l’espressione generale dell’accelerazione di gravità in funzione del raggio $r$ e della densità $\rho$ è data da: \[g = \frac{4}{3} \pi G \rho r\] mentre la velocità dell’impatto può essere valutata dall’espressione: \[v = \sqrt{2 g r}\] Questo implica che, a densità pari a quella della Terra, su un pianeta 100 volte più largo, la velocità di impatto sarebbe 100 volte maggiore(3), quindi una variazione di quantità di moto 100 volte maggiore e infine una forza impulsiva 100 volte maggiore.
Quindi, personalmente, la vedo un po’ dura per un essere umano uscire indenne da una caduta da un grattacielo su un ipotetico pianeta roccioso 100 volte più largo della Terra (a dire il vero la vedo dura anche sulla Terra!).
La matematica di Navier-Stokes
In meccanica dei fluidi, le equazioni di Navier-Stokes, sviluppate da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes, descrivono il moto di un fluido nello spazio. Data la sua velocità $\vec{v}$, la sua pressione $p$, e la viscosità cinematica $\nu$, in presenza di una forza esterna $\vec{f}$, il moto delle particelle del fluido può essere descritto dalla seguente equazione differenziale vettoriale: \[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + ( \vec{v} \cdot \vec \nabla ) \vec{v} = -\vec \nabla p + \nu \Delta \vec{v} +\vec{f}(\vec{x},t)\] Determinare le soluzioni di tale equazione è particolarmente complesso e solo in alcuni casi particolari si possono effettuare i calcoli.
La ricerca di soluzioni generali delle equazioni di Navier-Stokes è, nel corso del tempo, diventata più matematica che fisica, tanto che questo è uno dei problemi del millennio:
In uno spazio tridimensionale e nel tempo, data una velocità iniziale di campo, esiste un vettore velocità e un campo dio pressione scalare, che sono entrambi continui e globalmente definiti, che risolvono le equazioni di Navier-Stokes.
Nel 2013 il matematico kazako Mukhtarbay Otelbayev aveva annunciato al mondo la risoluzione del problema, ma dopo un attento esame così non fu. Il problema è ancora lì, irrisolto, a dimostrazione di quanto sia complessa la matematica dietro l’equazione di Navier-Stokes.
Non refrigerate quelle uova
Sarà perché a casa mia le uova, a meno di non usarle entro un paio di giorni, vengono subito messe in frigorifero, la domanda sulla loro mancata refrigerazione in Europa mi ha stupito non poco.
E ancora di più sono stato stupito per il fatto che non è necessario raffreddare le uova!
Anche se nell’uovo sono riuscite a entrare alcune cellule di Salmonella o di Campylobacter attraverso un poro nel guscio dell’uovo (nel momento del raffredamento), queste non possono crescere. L’interno dell’uovo contiene un enzima, il lisozoma, che è batteriostatico/battericida.
L’unica ragione per raffreddare un uomo è quela di estenderne la durata. Un uovo freddo (meno di $4 ^\circ C$) in un ambiente umido durerà dalle 6 alle 8 settimane o anche più senza perdere molta della sua qualità. A temperatura ambiente, l’uovo perde umidità molto più rapidamente il che vuol dire che la sacca d’aria sul fondo della parte arrotondata si allargherà. Anche il tuorlo sarà “piatto” quando l’uovo viene rotto su una superficie piatta, e l’albume (il bianco) dell’uovo si diffonderà più ampiamente. Ma il valore del cibo è lo stesso, e non c’è alcun effetto sulla salute.

Gli ever green

Quali sono le più famose tra le equazioni matematiche irrisolte?
Da tutto l’elenco che potete trovare, mi sembra interessante questo:
Non esistono tre numeri interi $a$, $b$, $c$ tali che \[a^3 + b^3 + c^3 = 33\]
Infine una segnalazione riguardo alla storia dell’$1+1$: a quanto pare qualcuno ha chiesto il risultato dell’operazione anche su quora!
  1. Interpolating the natural factorial $n!$ or The birth of the real factorial function
  2. Thukral, A. (2014). Factorials of real negative and imaginary numbers - A new perspective SpringerPlus, 3 (1) DOI: 10.1186/2193-1801-3-658 (PMC4247832)
  3. Nella formula andrebbero sotto radice due fattori 100, uno per il raggio e l’altro per la gravità

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