Le grandi domande della vita: Ribaltare un fattoriale

Ho trovato piuttosto curiosa la richiesta di risoluzione inversa del fattoriale, in particolare quel "matematicamente", che ovviamente presuppone di suggerire metodi non algoritmici (nell'idea moderna di algoritmo, ovvero una serie di istruzioni automatiche da far eseguiore a un calcolatore). Non mi metterò a rispondere alla domanda, o almeno non fornirò un metodo in grado di fornire sempre la risposta (nelle risposte troverete che il metodo da seguire è quello dei criteri di divisibilità), ma colgo l'occasione per parlare brevemente di fattoriale.
Il fattoriale è l'operazione matematica così definita:

Le grandi domande della vita: zero in condotta

Ci avete mai fatto caso che lo zero e l'uovo rotto nel piatto hanno qualcosa in comune? Io no, mai, e continuo a non trovarci nulla di così in comune, nonostante quello che ho scritto per la puntata odierna:

Sei uno zero!

Il fattoriale di un numero intero è il prodtto di tutti i numeri compresi tra il numero stesso e uno. Ad esempio: \[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\] In una lettera a Christian Goldbach datata 26 otobre 1729, il matematico svizzero Daniel Bernoulli provava a generalizzare il fattoriale ai numeri reali⁽¹⁾: \[x! = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( n + 1 + \frac{x}{2} \right )^{x−1} \prod_{i=1}^n \frac{i+1}{i+x}\] Come spesso succedeva ai problemi di quell’epoca, non passò poco tempo che la questione finì nelle mani di Leonard Euler. In un aprima lettera⁽¹⁾ a Goldbach del 13 ottobre 1729, Euler diede una prima definizione della futura funzione Gamma: