Un problema matematico: le equazioni di Navier e Stokes

In meccanica dei fluidi, le equazioni di Navier-Stokes, sviluppate da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes, descrivono il moto di un fluido nello spazio. Data la sua velocità $\vec{v}$, la sua pressione $p$, e la viscosità cinematica $\nu$, in presenza di una forza esterna $\vec{f}$, il moto delle particelle del fluido può essere descritto dalla seguente equazione differenziale vettoriale: \[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + ( \vec{v} \cdot \vec \nabla ) \vec{v} = -\vec \nabla p + \nu \Delta \vec{v} +\vec{f}(\vec{x},t)\] Il problema è che, per ottenere delle soluzioni di questa equazione bisogna introdurre delle approssimazioni, che semplificano la ricerca delle stesse: ad esempio una delle maggiori difficoltà è determinare le soluzioni in presenza di turbolenze. A questo problema, soprattutto di natura fisica, va aggiunto un altro problema, di natura matematica: la difficoltà nel dimostrare, date le condizioni iniziali, l'esistenza di soluzioni continue delle equazioni. Date queste difficoltà, il Clay Mathematics Institute inserì questo nella lista dei sette Problemi del Millennio:

In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.⁽⁷⁾

Se l'inserimento del problema nella lista ha certamente aumentato l'interesse intorno ad esso, la ricerca delle soluzioni più generali possibili delle equazioni ha una sua storia pregressa, come ricorda Mukhtarbay Otelbayev⁽¹⁾, matematico kazako che sembra sia riuscito finalmente a risolvere completamente le equazioni. In particolare l'aspirante solutore segnala il lavoro della matematica russa Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, che nel 1958⁽²⁾ dimostrò l'esistenza e l'unicità di soluzioni a lungo termine delle equazioni di Navier-Stokes in due dimensioni, introducendo la disuguaglianza che porta il suo nome; e del matematico francese Roger Temam⁽⁴⁾. Altro lavoro importante e fondamentale per Otelbayev è quello di Eberhard Hopf⁽⁴⁾ che ha generalizzato per dimensioni superiori a 3 un risultato di Jean Leray⁽⁵⁾, che dimostrò l'esistenza di soluzioni deboli per $t > 0$, dove la soluzione al tempo zero è sommabile al quadrato⁽⁶⁾. La soluzione ha però un suo limite di validità, ma, come suggerisce il matematico kazako, il limite determinato da Hopf quando la dimensione è non meno di tre è insufficiente per applicare un qualunque metodo perturbativo ed è questa, secondo Otelbayev, la vera ragione per cui la ricerca di una soluzione forte per le equazioni di Navier-Stokes è diventato un Problema del Millennio.
Con questa idea in testa, sviluppata nel corso di decenni (basta guardare la bibliografia, dove sono inseriti molti lavori di Otelbayev stesso⁽¹⁾), il nostro riduce la dimostrazione dell'esistenza di tali soluzioni alla dimostrazione di un nuovo limite di validità per le soluzioni stesse⁽¹⁾.

E' evidente che, prima di essere certi che la soluzione sia effettivamente arrivata, bisogna attendere il vaglio dei revisori del Clay Mathematics Institute, un lavoro che è inevitabilmente complicato dal fatto che l'articolo, a parte l'ultima pagina, non è in inglese, ma in cirillico.

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Approfondimenti sulle equazioni di Navier-Stokes: mathworld.wolfram.com, Localisation and compactness properties of the Navier-Stokes global regularity problem di Terrence Tao
Riguardo la notizia che ha ispirato il post può essere utile dare anche un'occhiata alla discussione su math.stackexchange.com

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(1) Mukhtarbay Otelbaev (2013). "The existence of a strong solution to the Navier-Stokes equations". Mathematical Journal Vol 13, Num 4 (50) (pdf - traduzione in inglese in corso di Mikhail Wolfson
(2) Ladyzhensakya, O. A. (1958). "Global solvability of a boundary value problem for the Navier–Stokes equations in the case of two spatial variables". Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR 123 (3): 427–429
(3) Vedi, per esempio, Navier-Stokes equations: Theory and numerical analisys (pdf)
(4) Hopf E. (1950). Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. Erhard Schmidt zu seinem 75. Geburtstag gewidmet, Mathematische Nachrichten, 4 (1-6) 213-231. DOI: 10.1002/mana.3210040121
(5) Leray J. (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Mathematica, 63 (1) 193-248. DOI: 10.1007/BF02547354 (pdf)
(6) Calderón C.P. (1990). Existence of weak solutions for the Navier-Stokes equations with initial data in $L\sp p$, Transactions of the American Mathematical Society, 318 (1) 179-200. DOI: 10.1090/S0002-9947-1990-0968416-0
(7) In uno spazio tridimensionale e nel tempo, data una velocità iniziale di campo, esiste un vettore velocità e un campo dio pressione scalare, che sono entrambi continui e globalmente definiti, che risolvono le equazioni di Navier-Stokes.