La matematica delle lacrime

Un gruppo di fisici che studiano la meccanica dei fluidi ha iniziato una proficua collaborazione con Kara Maki riguardo lo studio dinamico delle "pellicole" di lacrime. Il modello, sviluppato in tre articoli che hanno preceduto il lavoro conclusivo, soprattutto sperimentale, è così descritto:

all'interno della pellicola lacrimale, le dinamiche del fluido sono governate dalle equazioni incomprimibili di Navier-Stokes insieme con la conservazione di massa ed energia. Alla superficie libera della pellicola lacrimale, imponiamo un bilancio di massa, energia, immobilità tangenziale, così come una tensione di equilibrio normale. La condizione di non equilibrio conduce a una legge costitutiva che lega la temperatura dell'interfaccia con il flusso di massa e la pressione del salto all'interfaccia. In più, all'interfaccia tra la pellicola lacrimale e la superficie oculare, imponiamo delle condizioni di anti scivolo e impenetrabilità, così come una temperatura corporea

La superficie libera $h=h(x,y,t)$ può alla fine essere descritta descritta utilizzando la seguente equazione differenziale: \[\partial_ t h + E J + \nabla Q\] dove $E$ è il tasso di evaporazione, $J$ il flusso della massa che sta evaporando, $Q$ il flusso del fluido.

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Un problema matematico: le equazioni di Navier e Stokes

In meccanica dei fluidi, le equazioni di Navier-Stokes, sviluppate da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes, descrivono il moto di un fluido nello spazio. Data la sua velocità $\vec{v}$, la sua pressione $p$, e la viscosità cinematica $\nu$, in presenza di una forza esterna $\vec{f}$, il moto delle particelle del fluido può essere descritto dalla seguente equazione differenziale vettoriale: \[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + ( \vec{v} \cdot \vec \nabla ) \vec{v} = -\vec \nabla p + \nu \Delta \vec{v} +\vec{f}(\vec{x},t)\] Il problema è che, per ottenere delle soluzioni di questa equazione bisogna introdurre delle approssimazioni, che semplificano la ricerca delle stesse: ad esempio una delle maggiori difficoltà è determinare le soluzioni in presenza di turbolenze. A questo problema, soprattutto di natura fisica, va aggiunto un altro problema, di natura matematica: la difficoltà nel dimostrare, date le condizioni iniziali, l'esistenza di soluzioni continue delle equazioni. Date queste difficoltà, il Clay Mathematics Institute inserì questo nella lista dei sette Problemi del Millennio: