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martedì 16 marzo 2010

LaTeXsperiment: equazioni di Laplace e Poisson

L'equazione di Laplace, in effetti, è un'equazione differenziale che ha grandi implicazioni in molti campi a partire dalla fisica, in particolare nell'equazione di Poisson.
L'equazione di Laplace, studiata da Simon Laplace, matematico franbcese, in maniera generale, possiamo scriverla come
{\partial^2 \varphi\over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \varphi\over \partial x_n^2 } = 0
dove si deve derivare due volte la funzione $\varphi$ che dipende dalle $x_1$, ..., $x_n$ variabili dello spazio. In maniera più compatta, comunque, questa equazione può essere scritta come
\nabla^2 \varphi = 0
dove $\nabla \dot$ è la divergenza(1) e $\nabla$ è il gradiente(2).
Si può, in alternativa, utilizzare l'operatore laplaciano \[\triangle \varphi = 0\] Se prendiamo l'equazione non omogenea di Laplace \[\triangle \varphi = f\] dove $f$ è una funzione reale, abbiamo l'equazione di Poisson.
In elettrostatica, ad esempio, l'equazione di Poisson è un'equazione importante:
\nabla^2 \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}
dove $\Phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ la densità di carica, $\varepsilon_0$ la costante dielettrica del vuoto. Ricordando poi che in generale la densità $\rho$ non è uniforme, ovvero può dipendere dalla posizione dello spazio, nelle zone in cui la densità è nulla, l'equazione di Poisson del potenziale elettrico può diventare una equazione di Laplace del potenziale elettrico:
\nabla^2 \Phi = 0
Anche questo tedio tra il fisico e il matematico dipende dai soliti problemi di integrare il LaTeX, di cui avevo già parlato in occasione dell'distribuzione di Bose-Einstein. Questa volta Peppe parla della momentanea sparizione dello script originale. Per risolverli si possono proporre due soluzioni: la prima è salvare su un hosting della cui stabilità siamo sicuri (sto pensando di caricarlo su Google, vi terrò aggiornati), la seconda è adottare gli script di CodeCogs. La soluzione può essere utilizzata per qualunque blog su piattaforma che consente la modifica del codice html. Vediamo come fare:
Innanzitutto in un qualunque punto della sezione <head> del proprio codice si incollano le seguenti linee di codice:
<script type="text/javascript" src="http://latex.codecogs.com/render.js"></script>
<script type="text/javascript" src="http://latex.codecogs.com/latex.js"></script>
Il primo codice consente di inserire direttamente il codice LaTeX nel tag <pre>. Ad esempio questa equazione:
\nabla^2 \varphi = 0
può essere ottenuta con il seguente codice:
<pre lang="latex">\nabla^2 \varphi = 0</pre>
Col secondo script, invece per ottenere $x$ basta digitare $x$ e per ottenere \[x+y\] basta digitare \[x+y\]
E a questo punto non mi resta che augurarvi: buon divertimento con LaTeX!

P.S.: ho trovato molto interessante Using LaTeX in Wordpress, mentre per stendere il post mi sono avvalso di questa pagina sui caratteri speciali.

(1) Per divergenza si intende un operatore matematico che calcola come un campo vettoriale diverge (o converge) da (verso) un dato punto dello spazio.
(2) Il gradiente di una funzione scalare è praticamente un vettore le cui componenti sono le derivate della funzione di cui prima calcolate lungo la direzione corrispondente. Quindi la prima componente corrisponderà alla derivata lungo la prima direzione ($x$, ad esempio), la seconda conterrà la derivata lungo la seconda direzione ($y$, ad esempio), e così via.

2 commenti:

  1. Mentre giocavo con LaTex, tra gli operatori logici non ho trovato il simbolo della negazione.

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  2. Si può ovviare utilizzando \overline

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