Un fatto curioso sui semicerchi

Dopo un periodo (che definirei terribile) finanche troppo lungo in cui ho passato a vedere ogni giorno i video di MasterChef Italia, sono finalmente uscito dal tunnel e ho ripreso possesso di YouTube, riuscendo a riportare in home page i miei video preferiti, quelli legati al metal in varie declinazioni, alla musica classica e alla scienza. In particolare il tubo mi ha consigliato un video particolare, A Curious Fact About Semicircles e mi è venuto in mente che avrei potuto usarlo per un nuovo post della serie senza parole. Poi mi sono reso cnto che mi servivano due immagini, e allora ho realizzato un'infografica matematica (qui il pdf e per i più curiosi ecco il LaTeX). Ovviamente qui sotto vi ho spezzato l'infografica nelle due immagini principali, ognuna delle quali corredata delle sue equazioni. Rispetto al video cambia la dimostrazione della prima immagine, dove sfrutto il teorema delle corde.
Alla fine ho scritto troppo, ma mi sembrava giusto metterci un po' di contesto. Il resto lo lascio alle immagini e alle formule:

Un esagono

pdf | codice LaTeX

Senza parole: un'altra arcotangente

\[\arctan \frac{1}{8} + \frac{\pi}{4} + \arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{4}{7} = \frac{\pi}{2}\]

codice sorgente | pdf

Senza parole: un'arcotangente

\[\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}\]

codice sorgente | pdf

Pulizie

Nei giorni scorsi non è che non ho fatto proprio nulla, ma mi sono dedicato alla pulizia di un po' di codici che ho su github. Mentre ho sistemato un po' di php per alcuni plugin (nei prossimi giorni dovrei riprendere un po' di codice che ho lasciato orfano), la maggior parte del tempo è stata dedicata a una completa riorganizzazione del codice legato alle inforgrafiche e a tutte le illustrazioni realizzate con tikzdraw, pacchetto grafico di LaTeX. Per cui alcuni link sul blog potrebbero non funzionare. Spero di trovarli e correggerli io, ma se capita a voi, lasciateci su un commento.
Ovviamente spero presto di poter tornare a "tediarvi" con i soliti contenuti cui vi ho abituato negli ultimi anni!

Il cerchio che rotola si quadra da solo

Ricordate quando nella terza parte della breve storia del pi greco provavo a raccontarvi sommariamente la quadratura attraverso il rotolamento del cerchio? Ebbene l'immagine qui sotto, che fa parte delle dimostrazioni senza parole, fa riferimento proprio a quel metodo di quadratura ed è stata proposta alcuni anni fa da Thomas Elsner. Ho realizzato l'immagine utilizzando i pacchetti tikz e tikz-euclide. Quest'ultimo in particolare permette di utilizzare la matematica per realizzare i disegni in maniera abbastanza semplice. Trovate su github sia il codice sorgente sia il pdf.

I segreti di un'infografica: Fatti e misfatti di un buco nero

Oggi è uscita su Edu INAF un'infografica sui buchi neri che raccoglie un po' di informazioni "tecniche" in modo un po' divulgativo, il seguito del fumetto/infografica storico del mese scorso. L'ho realizzata utilizzando il pacchetto tikz di LaTeX e compilando il tutto con LuaLaTeX che permette di utilizzare font personalizzati, nello specifico OpenDyslexic.
Scendendo un po' nel dettaglio scientifico, quanto scritto nell'infografica l'ho diffusamente trattato in vari articoli (Il buco nero e il gravitone, Cosa resta dentro un buco nero, Residui gravitazionali, Il limite di Chandrasekhar, giusto per citare alcuni degli ultimi) a parte, forse, la questione posta nel finale legato all'ombra del buco nero. Sull'argomento, come avevo accennato, venni edotto da un seminario interno di Gabriele Ghisellini (che ne ha anche scritto sul sito dell'Osservatorio di Brera). Vediamo se mi riesce di spiegarla anche a me.

Senza parole: trisecare un foglio di carta

Da Matematica in pausa caffé di Maurizio Codogno - dettagli sulle piegature - immagine realizzata con il pacchetto LaTeX tikz - codice sorgente

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P.S.: ho provato il metodo e direi che funziona, entro i limiti degli errori che si possono commettere piegando un foglio di carta!

Disegnare col LaTeX

(via TeX - LaTeX Stack Exchange)

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Leggi anche: Graph Drawing in TikZ di Till Tantau (pdf - pdf presentazione)

iTeX

C'è un gran chiacchiericcio intorno a iBooks Author. C'è chi prova a raccontare un po' della storia del LaTeX (che tornerà a breve), chi prova a raccontare un po' di cose in pro e in contro, e c'è chi invece prova a mettere in fila le alternative. Quest'ultimo blog, però, mi sembra segnalare progetti sì interessanti ma o principalmente commerciali, del tipo sono loro a produrre gli e-book, o piuttosto acerbi. Nell'elenco fatto da aWilito, però, manca ad esempio il formato cdf, sviluppato da Wolfram⁽¹⁾ ma che può essere utilizzato per produrre documenti multimediali solo usando Mathematica, che è a pagamento. La loro visualizzazione, invece, è sempre possibile grazie all'apposito player.
Se i documenti in cdf hanno bisogno di un prodotto a pagamento per essere realizzati, avendo comunque il pregio di essere fruibili da tutti a patto di usare un apposito player, e questo è già meglio dei prodotti realizzati con il prodotto della Apple (o usi un loro prodotto o niente...), un altro modo per realizzare prodotti multimediali è usare iTeX, annunciato da Donal Knuth in questa conferenza:

Installazioni_ LaTeX

Sono arrivati MikTeX e Crimson Editor. Sto rimettendo tutto a posto, piano piano, e questa è la mia soluzione preferita per il LaTeX su Windows.
Vi suggerisco di provarlo: è ottimo per documenti scientifici, e non solo!

LaTeXsperiment: equazioni di Laplace e Poisson

L'equazione di Laplace, in effetti, è un'equazione differenziale che ha grandi implicazioni in molti campi a partire dalla fisica, in particolare nell'equazione di Poisson.
L'equazione di Laplace, studiata da Simon Laplace, matematico franbcese, in maniera generale, possiamo scriverla come

{\partial^2 \varphi\over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \varphi\over \partial x_n^2 } = 0

dove si deve derivare due volte la funzione $\varphi$ che dipende dalle $x_1$, ..., $x_n$ variabili dello spazio. In maniera più compatta, comunque, questa equazione può essere scritta come

\nabla^2 \varphi = 0

dove $\nabla \dot$ è la divergenza⁽¹⁾ e $\nabla$ è il gradiente⁽²⁾.
Si può, in alternativa, utilizzare l'operatore laplaciano \[\triangle \varphi = 0\] Se prendiamo l'equazione non omogenea di Laplace \[\triangle \varphi = f\] dove $f$ è una funzione reale, abbiamo l'equazione di Poisson.
In elettrostatica, ad esempio, l'equazione di Poisson è un'equazione importante:

\nabla^2 \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

dove $\Phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ la densità di carica, $\varepsilon_0$ la costante dielettrica del vuoto. Ricordando poi che in generale la densità $\rho$ non è uniforme, ovvero può dipendere dalla posizione dello spazio, nelle zone in cui la densità è nulla, l'equazione di Poisson del potenziale elettrico può diventare una equazione di Laplace del potenziale elettrico:

\nabla^2 \Phi = 0

LaTeXsperiment: distribuzione di Bose-Einstein

La statistica è una scienza estremamente versatile che studia sistemi a molti corpi. Le sue leggi ed equazioni si basano su particolari funzioni che sono dette distribuzioni: si può osservare che, disponendo abbastanza dati, molte delle situazioni che sperimentiamo quotidianamente possono essere descritte con le opportune statistiche, partendo ad esempio dai numeri estratti al lotto, fino addirittura alle figure di interferenza della luce che attraversa le veneziane di una finestra. Una delle distribuzioni che meno sperimentiamo, in quanto costituiti da fermioni, particelle che non possono stare troppo vicine una all'altra, è la distribuzione di Bose-Einstein:
$$P(k) = \frac{k^s}{e^{k-mu}-1}$$
Questa distribuzione descrive le particelle aventi spin intero, i così detti bosoni, che non hanno nessunissimo problema a stare vicini vicini.
Tutto questo, però, non l'ho scritto per il desiderio di discorrere di scienza e matematica anche qui su DropSea, ma semplicemente per provare lo script LaTeX proposto da Peppe.
Le istruzioni di Peppe, però, funzionano, così come sono date, solo per i blog su piattaforma Blogspot, però è possibile utilizzare lo script su qualunque blog.
Innanzitutto prendete il seguente codice (che è solo una parte di quello suggerito da Peppe):

<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">
replaceMath( document.body );</script>

e incollatelo poco prima di </body>.
A questo punto il gioco è fatto e potete scrivere direttamente in LaTeX nel vostro blog quale che sia la vostra piattaforma, a patto ovviamente che questa vi consenta di mettere mano al codice html del vostro blog o sito.
Ovviamente a vostra discrezione potete inserire anche i link a Watch Math suggeriti dal tool originale. Unico inconveniente, rispetto al LaTeX equation editor, è l'impossibilità di vedere in anteprima il risultato del vostro codice.
In attesa che qualcuno migliori questo trucchetto, ci vediamo alla prossima sia qui sia su SciBack.

Concorrenza

Sto leggendo molti vecchi post di downloadblog, e tra tanti mi capita di leggere un articolo sul vero concorrente a PowerPoint di Microsoft Office. La cosa più interessante è che non vengono considerati come altri eventuali concorrenti quelle applicazioni off-line che dovrebbero essere i veri concorrenti di PowerPoint, e soprattutto la ancora assoluta ignoranza di un prodotto assolutamente gratuito, professionale e che consente un controllo assoluto (o quasi) una volta imparate tutte le sue funzionalità: Beamer.
Pacchetto per LaTeX, ha come unico inconveniente quello di dover imparare non solo il linguaggio LaTeX di scrittura scientifica, ma anche un minimo delle particolari funzioni ed opzioni che offre il pacchetto. Lo strumento è potente e le presentazioni possono essere prodotte direttamente in versione pdf, una tipologia di file molto diffusa ed apribile da qualsiasi sistema operativo.
Potete trovare alcuni link sul LaTeX e Beamer sulla mia pagina utente su del.icio.us.