L'equazione di Laplace, studiata da Simon Laplace, matematico franbcese, in maniera generale, possiamo scriverla come
{\partial^2 \varphi\over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \varphi\over \partial x_n^2 } = 0
dove si deve derivare due volte la funzione $\varphi$ che dipende dalle $x_1$, ..., $x_n$ variabili dello spazio. In maniera più compatta, comunque, questa equazione può essere scritta come
\nabla^2 \varphi = 0
dove $\nabla \dot$ è la divergenza(1) e $\nabla$ è il gradiente(2).Si può, in alternativa, utilizzare l'operatore laplaciano \[\triangle \varphi = 0\] Se prendiamo l'equazione non omogenea di Laplace \[\triangle \varphi = f\] dove $f$ è una funzione reale, abbiamo l'equazione di Poisson.
In elettrostatica, ad esempio, l'equazione di Poisson è un'equazione importante:
\nabla^2 \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}
dove $\Phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ la densità di carica, $\varepsilon_0$ la costante dielettrica del vuoto. Ricordando poi che in generale la densità $\rho$ non è uniforme, ovvero può dipendere dalla posizione dello spazio, nelle zone in cui la densità è nulla, l'equazione di Poisson del potenziale elettrico può diventare una equazione di Laplace del potenziale elettrico:
\nabla^2 \Phi = 0