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martedì 25 ottobre 2011

Ritratti: Évariste Galois

La figura di Evariste Galois mi ha colpito sin da quando ho conosciuto le circostanze della sua morte. A raccontarle fu il professore che, durante il dottorato, tenne il corso sulla teoria dei gruppi: non saprei dire se fu più il corso o più la figura di Galois a spingermi poi verso la teoria dei gruppi applicata alla fisica, fatto sta che oggi, oltre a celebrare il 200.mo anniversario della nascita del giovane matematico francese, in un certo senso rendo l'ennesimo omaggio a una disciplina che potrebbe realmente avere in se i semi per uno sviluppo decisivo non solo della matematica, ma anche della fisica.
La leggenda narra che Galois scrisse il lavoro che poi avrebbe posto le basi della teoria dei gruppi in una notte, quella precedente al duello mortale che lo avrebbe visto sconfitto, e che sembra essere stato causato da una donna. Al di là dei risvolti gialli della vicenda finale, l'episodio evidenzia gli aspetti focosi e romantici del carattere di Evariste.
La Parigi del XIX secolo era una città molto più piccola rispetto a quello che è oggi e Bourg-la-Reine, oggi un quartiere della capitale francese, al tempo era un comune a se, distante una decina di chilometri dalla città. Qui vivevano i genitori di Evariste, Nicolas-Gabriel Galois, un repubblicano che sarebbe successivamente diventato sindaco del borgo, e Adélaïde-Marie Demante, due persone colte e intelligenti che ospitavano nella casa della famiglia Galois una scuola. I primi anni di studio, infatti, il piccolo Evariste li ricevette dalla sua stessa famiglia: i genitori lo istruirono nelle materie all'epoca ritenute più importanti (lettere classiche, religione, filosofia). I primi contatti con la matematica sarebbero arrivati solo più tardi, e solo dopo l'iscrizione, nel 1823, presso il liceo Louis-le-Grand.

Il Louis-le-Grand, foto da Genius, stupidity and genius again di Tope Omitola
Il suo rendimento scolastico sembra sia stato ottimo fin dall'inizio, ma iniziò ad avere problemi tra il 1825 e il 1826, forse a causa di una noia di fondo che trovava nelle materie insegnate. Ad ogni modo venne consigliato al padre di far ripetere a Evariste l'anno, perché non era considerato abbastanza maturo per affrontare l'ultimo anno del suo corso di studi (tutta colpa della retorica(1)): fu così che nel 1827 si ritrovò a seguire il corso di matematica tenuto da tale M. Vernier. Questo suo primo insegnante di matematica scrisse di lui:
E' la passione per la matematica a dominarlo, penso che sarebbe meglio per lui se i suoi genitori lo obbligassero a studiare qualsiasi altra cosa, sta sprecando il suo tempo qui e non fa altro che tormentare i suoi insegnanti e ricoprirsi di punizioni.(2)
e successivamente
Intelligenza, notevole progresso ma non c'è abbastanza metodo.(3)
Questi giudizi, però, non gli impedirono di provare, una prima volta nel 1828, ad entrare al Politecnico di Parigi. Questo primo tentativo, come il successivo del resto, si concluse con un insuccesso. Tornato, così, a al Louis-le-Grand, si ritrovò nella classe di matematica di Louis Richard, probabilmente l'unico insegnante che ne comprese veramente le potenzialità. Scrisse, infatti:
Questo studente lavora solo nei più alti reami della matematica.(1)
Probabilmente è grazie a Richard(1) che si avvicina ai lavori di Legendre (Éléments de Géométrie) e Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrique des équations), anche se secondo altri fu durante il primo corso con Vernier(4), mentre altri ancora indicano addirittura il periodo tra il 1825 e il 1826(5), quasi a volerne sottolineare anche la forza da autodidatta.

(da exit)
Tornando alla biografia, comunque, il 1829 iniziò bene per Evariste, con la pubblicazione del suo primo lavoro, dedicato alle frazioni continue, sugli Annales de mathématiques, mentre a fine maggio sottomise un articolo sulle soluzioni algebriche delle equazioni di grado superiore al quinto (lo stesso lavoro intrapreso da Abel) all'Accademia delle Scienze, che assegnò come referee il grande Cauchy. Questo suo primo lavoro nel campo viene giudicato in maniera non completamente positiva, contenendo alcuni risultati già ottenuti da Abel (e apparsi postumi). Galois, quindi, studia il lavoro del suo collega norvegese per arrivare alla stesura di On the condition that an equation be soluble by radicals sottomesso nel febbraio del 1830. Il lavoro venne affidato alle cure di Fourier, che però morì nell'aprile dello stesso anno e così il suo lavoro andò inizialmente perduto e non venne nemmeno considerato per il Grand Prix matematico. In un certo senso le vicissitudini di questo suo lavoro si andarono semplicemente ad accumulare alle vicende personali, che videro il suicidio del padre nel 1829, coinvolto, innocente, in uno scandalo politico. A questo si aggiunge il secondo esame di ammissione al Politecnico, a fine 1829, anch'esso, come già anticipato, finito male. E anche in questo caso non per colpa della matematica: l'esaminatore in questa disciplina, infatti, scrisse:
Questo ragazzo è talvolta oscuro nell'esprimere le sue idee, ma è intelligente e mostra un notevole spirito di ricerca(2)
Secondo quello di lettere, invece, era una persona dalla scarsa intelligenza:
Questo è l'unico studente che mi ha risposto scarsamente, non conosce assolutamente nulla. Ho sentito dire che questo studente ha straordinarie capacità per la matematica. Ciò mi stupisce enormemente, poiché, dopo il suo esame, ritengo che possegga una scarsa intelligenza(2)
e questo giudizio, alla fine, la storia ci tramanda pesò più di quello matematico.
A quel punto l'unica possibilità per proseguire gli studi avanzati era iscriversi a quella che è oggi nota come la Normale. Ed è qui che inizia anche il percorso politico/rivoluzionario di Galois, che forse fu il vero movente per quello che qualcuno considera un omicidio e non un incidente dovuto a un duello. Andiamo però con ordine: la Francia usciva dal mezzo fallimento della rivoluzione francese, un moto di rivolta popolare contro i privilegi delle caste baronali (ricorda qualcosa?) che si era concluso, dopo il periodo del così detto Terrore che tante vittime fece anche nel mondo della scienza, con l'ascesa di Napoleone Bonaparte, prima come comandante dell'esercito francese poi come imperatore della Francia repubblicana. Galois visse in quel periodo a cavallo tra Napoleone e la restaurazione, e dunque in un momento di rinnovata protesta politica. Evariste, infatti, si avvicinò a idee che personalmente metterei in quella zona di confine tra socialismo e libertarianesimo espresse dal conte de Saint-Simon, alias Claude Henri de Ronvroy, secondo cui la società si sarebbe dovuta riorganizzare lungo linee industriali mentre il ruolo finora avuto dalle guide spirituale sarebbe dovuto essere preso dagli scienziati. Con queste idee, cui si era avvicinato proprio nei primi anni alla Normale, e con il carattere focoso che si ritrovava, Galois entrò ben presto in conflitto con il direttore dell'istituto, M. Guigniault.

La libertà guida il popolo, Eugène Delacroix, 1830
Il primo attrito avvenne durante la rivoluzione di Luglio. Mentre la città scendeva in piazza e combatteva per le strade contro re Carlo X e le ordinanze di Saint Cloud, che secondo l'opposizione avrebbero reinstaurato il vecchio ordine precedente alla rivooluzione del 1789, Guigniault impedì ai suoi studenti di unirsi ai rivoltosi. La storia narra, comunque, che Carlo X, sconfitto, fu costretto all'esilio, seguito da Cauchy: il matematico, infatti, era molto vicino al sovrano e quindi ritenne molto più salutare andarsene dalla Francia.
Intanto continuavano gli scontri interni tra Galois e Guigniault, che sfociarono nell'espulsione dello studente il 9 dicembre del 1830. Galois, a quel punto, che tra le altre cose criticava i metodi didattici, con il nuovo anno iniziò un corso di algebra, che però non ebbe gran successo, frequentato prevalentemente da amici del matematico e non da persone realmente interessate alla materia. L'insuccesso didattico si unì anche ai problemi con la giustizia: Evariste venne infatti arrestato a causa di un brindisi equivoco fatto il 9 maggio e dedicato al re Luigi Filippo mentre aveva un coltello in mano, almeno secondo alcuni dei testimoni. Gli venne, naturalmente, mossa l'accusa di cospirazione ai danni del re: il processo si concluse con una sconfitta e la condanna a nove mesi di prigione. Uscito nella primavera del 1832 (durante quel periodo, comunque, esortato da Poisson, provò a mettere ordine tra i suoi appunti) ad attenderlo ci sarebbero state la povertà e stenti fino alla morte avvenuta il 31 maggio, dopo un paio di giorni di agonia a causa della ferita mortale durante un duello probabilmente contro Perscheux d'Herbinville a causa di una giovane di cui si ritiene che Evariste si fosse innamorato.
Sul letto di morte, al fratello, il matematico romantico, come è definito da Mario Livio nel bellissimo L'equazione impossibile, disse queste ultime parole:
Non piangere! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent'anni(6)

Lettera ad Auguste Chevalier in cui Galois parla della sua nuova teoria come "teoria dell'ambiguità" - via Log24
Come detto il lavoro di Galois fu da fondamenta per la nascita della teoria dei gruppi, uno degli strumenti più potenti e finora meno usati, a mio parere, che l'uomo sia riuscito a inventare. Anche nel caso di Galois il punto di partenza è la ricerca delle soluzioni per le equazioni di grado superiore al 5.o, o ad ogni modo, partendo dai risultati già ottenuti da Abel e Ruffini, un modo per dimostrare che la risoluzione di tali equazioni è impossibile con gli usuali strumenti di addizione, moltiplicazione, estrazione di radice. La teoria sviluppata da Galois parte dalla costruzione del gruppo delle permutazioni delle radici di una data equazione polinomiale. Questo gruppo è detto gruppo di Galois e le permutazioni che vi appartengono non sono però tutte quelle possibili. Il punto centrale, che nella teoria dei gruppi a noi nota può essere inteso come la conservazione delle proprietà di simmetria di un dato sistema, è che le permutazioni che appartengono al gruppo di Galois di una data equazione polinomiale devono preservare le relazioni interne tra le radici. Se ad esempio ho una equazione $\varphi$ di 5.o grado di radici $a$, $b$, $c$, $d$, $e \in F$, tale per cui $a + b = 0$, mentre $a + c = k$, con $k$ parametro appartenente al campo $F$, allora la permutazione che sostituisce b con c non appartiene al grppo di Galois dell'equazione $\varphi$. A questo punto un polinomio è risolubile se il gruppo di Galois corrispondente è a sua volta risolubile. Avevo già descritto, al tempo del Ritratto di Abel, un modo per capire nei termini della teoria dei gruppi quando una equazione è risolubile. In breve, comunque, un gruppo è risolubile (e quindi anche l'equazione corrispondente) se esiste al suo interno una successione di sottogruppi a partire dall'identità (o elemento neutro) con alcune caratteristiche particolari (ad esempio devono essere normali, ovvero lasciare invariato un particolare prodotto svolto al loro interno). Ovviamente si dimostra che i gruppi di Galois per le equazioni di quinto grado sono in generale non risolubili, a parte i casi di equazioni che possono in qualche modo essere ricondotte a polinomi di grado inferiore. (1) MacTutor
(2) Simpatematica
(3) Biografie Online
(4) The Evariste Galois Archive. Qui sono anche presenti alcuni appunti di Andrea Caranti sulla teoria di Galois.
(5) Wikipedia
(6) Incredible but True

Altri spunti:
Biografia di Galois di Umberto Bottazzini
Morir a los veinte años
Maths-Rometus (fr)
Le testament de Galois
Pagina dell'Abel Prize 2008 vinto da John Thompson e Jacques Tits per il loro lavoro sulla simmetria.
Differential Galois theory di Jean-Francois Pommaret Romania obiectiva

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